<

    
        

        payne hanek 归约算法
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
挖坑
参考文献


        音乐背后的数学
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
挖坑
声音是什么？
什么是和弦？
参考文献
    
        

        素描背后的物理
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
挖坑
参考文献


        cody waite
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
挖坑
参考文献


        浮点数
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
挖坑
假如你知道浮点数的话，你就知道为什么了！
按照 IEEE 754 浮点数标准 制定的 浮点数运算法则， float
类型的单精度浮
    
        

        Remez Algorithm
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
挖坑
参考文献


        参数归约算法(Argument Range Reduction)：如何在浮点数环境下计算超大数字的三角函数值？
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
之前写过一篇介绍 CORDIC 算法 1 的文章，里面提到 CORDIC
算法的 不足
之处，CORDIC 算法的输入角度范围需要在 \([−99.88^{\circ} , 99.88^{\circ}]\)
，那么我们不禁要问，如果输入角度 \(\large
{\theta }\) 很大的话，怎么处理呢？
这个问题同样存在于 泰勒展开式(Taylor series) 2
中，比如 \(\large {\sin (x) }\) 和
\(\large {\cos (x) }\)
的泰勒展开式：
\[
\sin(x) = x - \frac {1}{3!}x^3 + \frac {1}{5!}x^5 - \frac {1}{7!} x^7 +
\frac {1}{9!} x^9 + o(x^9) \quad \forall x \subset \mathbb{R}
\]
\[
\cos(x) = 1 - \frac {1}{2!}x^2 + \frac {1}{4!}x^4 - \frac {1}{6!} x^6 +
\frac {1}{8!} x^8 + o(x^8) \quad \forall x \subset \mathbb{R}
\]
虽然在整个实数集 \(\large {
\mathbb{R}}\)
都成立，但是在实际应用中因为展开项数限制和浮点数的精度限制， \(\large {x}\) 的范围只有在接近 \(\large {0}\) 的时候才有比较高的精度。
但是实际应用中，如果输入 \(\large
{x}\) 很大的话，比如 \(\large {2^{32},
10^{10}, 10^{22} \dots }\) 情况下怎么得到足够精确的值呢？
中学里我们知道三角函数是周期函数，对于比较大的值，我们可以使用下面的公式将值归约到一个比较小的范围内。
\[
x' = x - 2k \pi \quad k \subset \mathbb{Z}
\]
这就是我们今天要讲的 参数归约(Argument Reduction)
算法。
从小学计算题开始
参数归约
听起来就很唬人，什么是参数啊，什么归约啊，都是些高大上的名词，听起来云里雾里的！
为了不让大家产生厌倦和畏难心理，我们先从一道小学数学计算题开始：
不借助计算器，计算 \(\large {66600 \times
666000}\) 的值！
对于这道题，大家可能会列出下列算术：
\[
66600 \times 666000 = 666 \times 666 \times 100000 = 44355600000
\]
但其实呢，我们也可以使用下面的方法：
\[
\begin{aligned}
66600 \times 666000 &= 111^2 \times 4 \times 9 \times 10^5
\\&= 444 \times 999 \times 10^5
\\&= 444 \times (1000 - 1) \times 10^5
\\&= 4443556 \times 10^5    
\end{aligned}
\]
如果我说上面这 \(\large {2}\)
种方法都用到了参数归约的思想，你可能会感到震惊，什么？这种小学计算题也用到了参数归约算法吗？

    
        

        素描背后的数学
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
挖坑
参考文献


        发生在计算机内存里的进化：解密遗传算法(Genetic Algorithm)
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
这篇文章部分内容还在优化，Demo
还在继续开发，大概还需要 7 - 8 小时写作时间。
无限猴子定理（英语：Infinite monkey theorem）
让一只猴子在打字机上随机地按键，当按键时间达到无穷时，几乎必然能够打出任何给定的文字，比如莎士比亚的全套著作。
在这里，几乎必然是一个有特定含义的数学术语，“猴子”也不是一只真正意义上的猴子，它被用来比喻成一个可以产生无限随机字母序列的抽象设备。这个理论说明把一个很大但有限的数看成无限的推论是错误的。猴子精确地通过键盘敲打出一部完整的作品比如说莎士比亚的哈姆雷特，在宇宙的生命周期中发生的概率也是极其低的，但并不是零。
遗传算法(Genetic Algorithm) 1
是一种元启发式搜索和优化技术，借鉴了生物进化中的自然选择和遗传机制。它已经在各个领域展示出了强大的应用潜力。本文将介绍遗传算法的发展历史、原理、示例，以及其广泛应用和不足之处。
发展历史
遗传算法的发展可以追溯到上世纪60年代的约翰·荷兰德（John
Holland）和他的同事们的工作。他们首先提出了基因型与表现型之间的映射关系，并通过模拟生物进化过程来解决复杂的优化问题。
原理
遗传算法的核心原理是模拟自然进化的过程。它通过定义适应度函数来评估候选解的质量，并利用遗传操作（选择、交叉和变异）对候选解进行迭代改进。具体而言，算法从一个初始种群开始，通过选择适应度较高的个体作为父代，进行交叉和变异操作产生新的后代个体，然后通过评估适应度来选择出下一代个体。这个过程不断迭代，直到找到满足特定条件的优秀解。
It’s never too late
举个例子
目前参考网络资源写了一个简单的Demo，地址：http://longluo.me/projects/genetic
这个例子还有待完善！

    
        

        CORDIC算法：一种高效计算三角函数值的方法
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
任何一款科学计算器上都可以计算三角函数，三角函数应用于生活工作中的方方面面，但计算机是如何计算三角函数值的呢？
三角函数本质上是直角三角形的3条边的比例关系，计算并没有很直观，那么计算机是如何计算三角函数值的呢？
在微积分中我们学习过 泰勒公式
，我们知道可以使用泰勒展开式来对某个值求得其近似值，例如：
\[
\sin \angle 18^{\circ} = \frac{\sqrt {5} - 1}{4} \approx 0.3090169943
\]
利用泰勒公式，取前 \(4\) 项：
\[
\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}
\]
代入可得：
\[
\sin \angle 18^{\circ} = \sin \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10} -
\frac{1}{6} (\frac{\pi}{10})^3 + \frac{1}{120} (\frac{\pi}{10})^5 -
\frac{1}{5040} (\frac{\pi}{10})^7 \approx 0.30903399538
\]
可见取前 \(4\) 项时精度已经在 \(10^{-5}\)
之下，对于很多场合精度已经足够高了。
在没有了解 CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer) Algorithm 1
算法之前，我一直以为计算器是利用泰勒公式去求解，最近才了解到原来在计算机中，CORDIC
算法远比泰勒公式高效。
下面我们就来了解下泰勒公式的不足之处和 CORDIC 算法是怎么做的。
泰勒公式的缺点
上一节我们使用泰勒公式去计算三角函数值时，需要做很多次乘法运算，而计算器中乘法运算是很昂贵的，其缺点如下所示：

展开过小则会导致展开精度不够，展开过大则会导致计算量过大；
幂运算需要使用乘法器，存在很多重复计算；
需要很多变量来存储中间值。

在之前的文章 矩阵乘法的
Strassen 算法
，就是通过减少乘法，多做加法，从而大大降低了运算量，那么我们可以用相同的思想来优化运算吗？
当然可以，让我们请出今天的主角：CORDIC 算法。

    
        

        我们常见的地图是如何绘制的？墨卡托投影是什么？
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
最近在书店里看到一本 《数学的奥秘》
，原著是 《The Secret Life of Equations: The 50 Greatest Equations and
How They Work》
，讲的是最伟大的数学方程式起源、构成、含义和应用。书的内容并不多，我看了其中的一部分，里面有讲
墨卡托投影 (Mercator projection)1 。
我对地理和地图一直很感兴趣，但之前对原理一直一知半解的，只知道我们常见的地图都是墨卡托投影，由墨卡托2 在
1569年创立。但墨卡托投影的原理是什么却并不清楚。书里面只有几页，但具体公式缺乏说明及推导过程，所以这几天通过查找资料掌握了墨卡托投影的原理。
如何绘制地图？
在大航海时代，航海家可以通过六分仪和观察日月星辰获取到经纬度，但在茫茫大海中迷失方向是很可怕的事情，如何才能正确的航行到目的地呢？
地球由于自转是一个两极比赤道略短的扁球体，但扁率约为 \(\frac {1}{300}\)
，非常之低，因为可以视为球体。因为球面不是可展曲面，也就是如果展成平面的话，长度会发生形变，所以也会形变。因为根据高斯绝妙定理
(Gauss theorem egregium)3 ，平面的高斯曲率为 \(0\) ，而球面的高斯曲率为 \(\frac {1}{R^2}\) ，其中 \(R\)
为球面半径，所以在保持图形完整性前提下，将球面转化为平面，投影后得到的经纬线网形状必然会产生变形，也就是说，在投影的过程中，变形是必然存在的。
在这种情况下，墨卡托运用等角圆柱投影法绘制了航海图，极大地方便了航海家。有了墨卡托海图，航海家想要到达某个目的地，只需要在出发点和目的地之间连一条直线，量出这条航线和经线的夹角，按照航行路线就能到达目的地。




什么是墨卡托投影？
设想将地球置于在一中空的圆柱里，如下图所示，其基准纬线（赤道）与圆柱相切。再设想地球中心处放置一灯泡，那么从球心处发射的光线会把球面上的图形投影到圆柱体上，之后再将把圆柱体展开，那么就可以得到一张墨卡托投影绘制出的地图。

    
        

        智能控制系统的灵魂：深入研究 PID 控制器的算法逻辑
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
PID 算法 s是自动控制领域中很重要的算法。
\[
u(t) = K_Pe(t) + K_I \int e(t) \mathrm{d}t + K_D
\frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}
\]
Simple PID Controller
非常简单的 PID 算法在线互动式模拟器，传送门 → ：

之前这个是 PID v1.0 版本，最近重构了代码，增加了一些新功能：

增加机器人速度 \(v\) 及加速度 \(a\) 显示；
增加 2 个图表展示 PID X 轴方向及 Y 轴方向的 P、I、D \(3\) 个分量随时间变化显示；
之前代码将时间及速度固定了，但这不符合实际，增加随 \(dt\) 变化积分和微分项；


    
        

        解密卡尔曼滤波(Kalman Filter)算法：深入解析卡尔曼滤波算法原理与在线可视化实例 
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
Kalman Filter1 是贝叶斯滤波器的一种特殊实现。
Kalman Filter 1D |
一维卡尔曼滤波器
一维卡尔曼滤波器如下图所示：




在线动画展示：http://www.longluo.me/projects/kalman/

    
        

        从记忆到洞察：轻松掌握泰勒展开式(Taylor Series)的记忆技巧
        
1970-01-01 08:00:00
        
By Long Luo
在数学、物理学、工程和计算机领域中，泰勒公式1
是一种广泛使用的分析方法，用来计算函数的近似值。在实践中，很多函数非常复杂，而且某些函数是不可积的，想求其某点的值，直接求无法实现。
泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数，用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)。注意在逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。
下图所示就是不同项数的泰勒公式对 \(\sin
x\) 的逼近：




泰勒级数的定义为：
\[
f(x) = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} = f(a) +
{\frac {f'(a)}{1!}}(x - a) + {\frac {f''(a)}{2!}}(x - a)^{2}
+ {\frac {f'''(a)}{3!}}(x - a)^{3} + \cdots
\]
这里，\(n!\) 表示 \(n\) 的阶乘，而 \(f^{(n)}(a)\) 表示函数 \(f\) 在点 \(a\) 处的 \(n\) 阶导数。如果 \(a = 0\)
，这个级数也被称为麦克劳林级数(Maclaurin series)2
。
泰勒展开式有很多，那么如何记忆呢？首先我们需要明白，泰勒公式之间都是有相互关联的，我们可以通过推导来理解性记忆这些公式。泰勒公式的具体推导过程可以参考数学分析教材或者网络3 。
下面我们就推导这些公式，以便更好的记忆4
！
几何级数 Geometric series
对于 \(-1 < x < 1\)
的情况，几何级数5 由等比数列求和公式可得：
\[
\frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots +
x^{n}
\]
用 \(-x\) 代入 \(x\) 上式，则：
\[
\frac{1}{1 + x} = \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{n} = 1 - x + x^{2} - x^3
+ \cdots + (-1)^n x^{n}
\]
用 \(x^2\) 替代 \(x\) , 由于 \(\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + x^2}
\mathrm{d}x\) ，对于 \(-1 \le x \le 1,
x \neq \pm i\) ，
\[
\arctan x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n + 1}}x^{2n + 1} =
x - {\frac {x^3}{3}} + {\frac {x^5}{5}} - \cdots + \frac{(-1)^n}{2n +
1}x^{2n + 1}
\]
因为 \(\frac{1}{(1 - x)^2} = (\frac{1}{1 -
x})'\) ，则：
\[
\begin{aligned}
\frac {1}{(1-x)^2} &= \sum _{n=1}^{\infty }n x^{n-1} \\
&= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + n x^{n-1}
\end{aligned}
\]
同 \(\frac{1}{(1 - x)^3} = \frac{1}{2}
(\frac{1}{(1 - x)^2})'\) ，则有：
\[
\frac {1}{(1 - x)^3} = \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n(n - 1)}{2}}x^{n -
2}
\]
指数函数 Exponent function
由于 \(\frac{\mathrm{d} e^x}{\mathrm{d} x}
= e^x\) ，\(e^0 = 1\) 那么：
\[
e^x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\frac{x^2}{2!}} +
{\frac {x^3}{3!}} + \cdots + {\frac{x^n}{n!}}
\]
很明显：
\[
\begin{aligned}
(e^x)' &=
(\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots)' \\
e^x &= 0+1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots \\
&= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots
\end{aligned}
\]
对于普通指数函数 \(a^x\) , 由于
\(a^x=e^{x\ln a}\) ，如果将 \(x\) 换为 \(x\ln
a\) ，那么 \(a^x\)
的泰勒展开式：
\[
\begin{aligned}
a^x &= e^{x \ln a} \\
&= 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} +
\cdots + \frac{(x \ln a)^n}{n!} \\
\end{aligned}
\]