2019-10-10 00:00:00
法国有一个小女孩，放学回家后爸爸问她，“今天在学校学了什么啊？”
“今天学了$20\times4+10+8$。”小女孩回答道。
“那$20\times4+10+8$等于多少呢？”爸爸继续问。
小女孩轻轻一笑，“$20\times4+10+8$等于$20\times4+10+8$。”
根据维基百科（WikiPedia）对 symbol（符号）这个词的解释，symbol 是希腊文里代表 token（象征）或 token of identity（身份的象征）之义的词，它结合了两个词根：sum（一起）和动词 ballo（丢掷）。对“符号”一词较宽松的诠释是“放在一起”。它的词源来自一种古老的证明方式，证明某人身份或某人与他人之间的关系。一根木棒或骨头被劈成两半，有关联的两人各取其半。为了核证这个关系，这两半必须完美地契合。
早在几万年前，智人就开始通过壁画来记录和传递信息。作为一种对现实世界的抽象表述，这些图形逐渐演变成了人类的语言和文字。大约三千年前，世界各地纷纷出现了用于记录的符号系统，不仅极大程度的增加了交流的简易性，也成为了记录知识的重要工具。而数学符号则和文字不同，一方面，数学符号虽然可以让书写更简洁和准确，但也增加了人们使用数学工具的门槛——必须要学习相应符号系统的含义才能入门；另一方面，数学符号所表示的并不是是现实世界中的存在，而是一种对抽象事物的抽象表示，也正因为如此，数学符号帮助我们实现了超越自然语言的思考方式。
用文字描述的数学
无论东方还是西方，数学的记录都比文学要早一千多年。世界上现存最古老的文字记录之一（德国考古研究院博物馆，编号W19408，76+）看起来像是在计算土地的面积。远在符号数字发明之前，人们就可以通过语言来描述数学计算的方法。欧几里得的《几何原本》就是完全用语言描述和几何图形完成的，这一巨著中甚至完成了 $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ 这样复杂的证明：如果一个正方形的边长等于另外两个正方形的边长之和，那么这个正方形的面积就等于另外两个正方形面积之和加上由他们边长构成的长方形面积的两倍。
人们也可以用语言讲述和回答纯数字的问题，比如著名的丢番图的墓志铭：“这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1/6是幸福的童年，生命的1/12是青少年时期。又过了生命的1/7他才结婚。婚后5年有了一个孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲哀中又活了4年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢番图的年纪吗？”。用语言描述的数学问题就已经很复杂了，更不用说用语言描述问题的解答。即使只是表达简单的数字，就像本篇开头的引文中所述的，在法语中98表示为“quatre-vingt-dix-huit”（四个二十、十以及八），文字也对使用者造成了许多不便和困扰。
聪明的中国人
在包含0的阿拉伯数字（印度数字）出现之前，数学的书写是非常繁杂的。一方面由于缺少占位符，许多时候不得不使用空格来表示，另一方面，一些数字符号如罗马数字，其左右顺序非常重要，因而连续写下多个数字时会发生混淆。直到今天，支票上也必须写下文字形式的数字来记录金额。
而古老的东方民族发明了以十进制为基础的数字记法，巧妙的避免了占位符合书写顺序的问题。中国文字使用了个，十，百，千，万这样的量词来表示数位，因此，像10086这样的数字可以表示为一万八十六，因而避免了缺乏占位符和同时书写多个数字发生混淆的问题。
中国人还发明了算筹来进行计算，算筹除了使用横竖杠来表示1-9的数字之外，还使用直式和横式的写法来表示数位，其中个、百、万、百万…数位采用直式，十，千，十万…数位采用横式，因此可以区分不同的数位。《孙子算经》中记载到：
凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当
来自印度的阿拉伯数字
令人难以置信的是，我们如今使用的阿拉伯数字直到16世纪才被广泛接受。说是阿拉伯数字，其实这一符号系统起源于9世纪的印度，一般认为，是费波那契的《计算书》将印度数字从阿拉伯传入欧洲。但早在《计算书》出现的一个世纪之前，花拉子米所著《还原与对消计算概要》的拉丁文译版就已经在西班牙出现，这也是已知最早的将印度——阿拉伯数字系统传入欧洲的书籍。
虽然阿拉伯数字在商业领域并不流行，但作为更先进的数字符号系统，它理应受到学术界的广泛关注。然而阿拉伯数字却迟迟没有流行，直到1543年，也就是哥白尼逝世那年，在他那年出版的著名著作《天体运行论》（De Revolutionibus Orbium Coelestium）当中，仍然有罗马数字、印度数字混用，甚至完全以文字书写数字的奇异现象。
伟大的韦达
《还原与对消计算概要》实际上是一本讨论如何求解一元二次方程（正）根的书，事实上，早在欧几里得的《几何原本》中，就写道通过配方的方式得到一元二次方程的根。花拉子米将一元二次方程分为几类，并给出了这些问题的解答方法，这些方法涉及到在方程（等式）的两边同时加上（或者减去）一项的消除操作。例如，
问题：将10分成两部分，其中一部分的平方是另一部分的81倍。
解答：10减去另一部分的平方等于10的平方加上这另一部分的平方减去这另一部分的20倍，将这20倍与81倍相加，可以得到100加此项的平方等于此项的101倍。将101减半得到50.5，将50.5的平方减去100得到2450.25；把它开方可以得到49.5，以101的一半减去49.5就可以得到这一项的大小为1。
这种解法涉及到了对负号的处理，而且花拉子米已经意识到，类似这样的方程都有两个根（其中一个可能是负数）。但由于对负数和零的认知恐惧，形如“平方与某物乘以一个未知数等于一个数”与“平方等于某物乘以一个未知数与一个数”一直以来都被认为是不同的方程。直到韦达引入了令人赞叹的“元音——辅音”记法，即用元音表示已知数，辅音表示未知数的方法，人们才意识到一元二次方程拥有形如 $ax^2+bx+c=0$ 的一般形式。
对我们而言，这样的表示似乎是再自然不过的，但对当时的人们来说，抽象地使用字母来表现涉及对象的更一般的特性，以及那些字母也可以和数字一样，遵从代数推导和法则的伟大想法，使得人们得到了思考与操作集体的、一般的、任意的（the any）、全部的（the all）的问题的方法，也“将代数提升到比便利的速记更高的层次”。
重新回归几何
算数（代数）最早是以几何形式出现在大家的视野当中的，随着发展逐渐与几何分开成为了单独的学科。直到韦达去世的三十四年之后，笛卡儿的《几何学》问世，代数和几何才重新被统一的认识。
值得注意的是，笛卡尔并不是最早发明和使用坐标系统的——早期的地理学家就会使用坐标系统，14世纪，就有利用经纬系统构造的坐标雏形。我们知道，加、减、乘、除以及平方开方的运算都可以化简为几何操作，例如 $a\times b$ 相当于求边长为 $a$ 和 $b$ 的长方形面积。然而这实际上是如何实现的呢？
笛卡尔发明了一种把代数求解和尺规作图对应起来的方法，如图所示，在角A的两条边长分别作出边长为 $a$ 和 $b$ 的线段 AB 和 AC，在其中一条边上取单位长度 AE，连接 CE，过 B 点作 CE 的平行线与 AC 交于 D 点，AD 的长度就是乘积 $a\times b$。这不仅仅是几何到代数的一种对应，更实现了代数到几何的一种变换。
用同样的方法，三等分角的问题被等价为一个特殊的三次方程是否有有理数根的问题。笛卡儿无法得知这一答案，不过，我们知道：问题中的根并不存在。
莱布尼茨和牛顿
笛卡尔还改变了人们对曲线的理解，笛卡尔意识到，平面上的曲线是一系列点的运动的组合，这些点的位置（坐标）受到方程的约束，因而当其中一个坐标发生变化时，另一个坐标也会相应的发生变化。这种观点也成为了微积分的思想基础。
在17世纪初，也就是笛卡尔的《几何学》问世的时候，$+, -, \times, \div$ 这样的现代符号还没有被发明，$\sqrt{}, \ ^2$ 这样的标记方式尚未统一。甚至有哲学家认为，虽然符号的使用让书写变得简短，但反而增加了理解的负担，因为需要花很长的时间学习如何读懂符号背后的含义，相反古人在完成几何和算数上的证明时并不需要借助任何符号，因此符号是非必须的。
莱布尼茨则提出了不同的观点，他相信卓越的技法是理解人类思维本质的关键，“真正的方法”需要引导思维并帮助使用着完成计算。他耗时数年创造、调整和改善了许多符号，并尽可能的使用符号来让书写内容更清晰和明确。这其中就包括他为微积分所创立的符号 $\rm{d} x/\rm{d} y$ 以及 $\int$。莱布尼茨如此称赞自己的符号系统，
我认为，当这项工作完成后，它会是人类心智的最终成果，而众人皆将欢喜，因为他们将拥有一项得以颂扬智识的工具，如同望远镜让洞察更臻完美。
同一时期的牛顿也独立的发明了微积分方法，他使用 $\dot{x}$ 来表示微分。但牛顿对微积分的理解和莱布尼茨是完全不同的：莱布尼茨所认为的曲线，是具有无穷小边长的无穷多边形，是静态的；而牛顿则认为曲线是动态的，代表了点的流动。牛顿和莱布尼茨都不可避免的遇到了无穷小量的定义问题，然而，这种即可以做除数又可以被忽略，像0又不是0的量，要到2个世纪之后才被严格定义。
尽管当时的符号系统尚不尽人意，但不可否认的是，笛卡尔，奥特雷德，莱布尼茨和牛顿的努力让数学符号在17世纪后半叶得以兴起，微积分的出现改变的数学、物理甚至整个世界的命运。
欧拉恒等式——指数和复数
符号在数学中的应用使得人们知道，某类数字的某类操作总是相似的。例如，如果设定 $x^2=a$，那么 $x=\sqrt{a}$，因而我们有 $(\sqrt{a})^2=a$。在符号出现之前，这看起来是不证自明的。但符号系统赋予我们对根号和指数新的理解，指数表示底数的连乘号，因此
\[(x^n)^m=\underbrace{x^n \times x^n \times...\times x^n}_m=x^{n \times m}\]因此 $(\sqrt{a})^2$ 可以被认为是 $a=a^{1/2\times{2}}=(a^{1/2})^2$。可以发现，根式不过指数为分数的一种写法。这种通过符号获得的认知是文字描述难以实现的。
符号不仅仅他所代表的数，还有它背后所蕴含的深刻含义，这也是为什么符号不仅仅是文字描述的简写，更是一种全新的思维模式的原因。历史上相当长的一段时间 $\sqrt{-1}$ 都困扰着数学研究者，这不仅仅是它作为 $x^2=-1$ 的解的意义，还有它作为一个数是否服从其他运算法则的问题。欧拉都不可避免的犯过类似 $\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=\sqrt{6}$ 的错误。因此虚数符号 $i$ 的引入，不仅仅是代替 $\sqrt{-1}$，它表示了一种前所未有的数的操作方式，即把数轴在平面上以原点为中心旋转 $90^{\circ}$。
18世纪的数学符号在经历了200多年的蓬勃发展之后终于趋近完美，欧拉观察到虚数的旋转特性，自然对数以及三角函数的周期性之间的微妙关系，从而发表了著名的欧拉恒等式。
\[e^{i\pi}+1=0\]在这个等式中，$e^{…}$ 表示自然的增长，$i$ 表示这种增长是沿着切向的（旋转），$\pi$ 表示旋转了 $180^{\circ}$，也就是说，对一个单位长度，旋转 $180^{\circ}$ 得到的长度就是原长度的相反值（和为0）。欧拉公式被誉为最优美的数学公式之一，反映了数学符号系统背后所对应的人们对真实世界的抽象理解。
结语
19世纪的哲学家淮海特说，一个好的记法可以把大脑从所有不必要的工作中解放出来，让大脑专注于更高深的问题。数学符号正是这样改变了人类的思考方式，让人类思维上升到了新的高度。表面上看来，数学似乎是根据一些运算法则来进行符号运算的技术，我们甚至不会察觉到，这些有助于一般化、统合性及更深层理解的思维，全部直接来自记法本身。现代社会中所有的技术，包括但不限于建筑、天文学、火炮技术、木匠技术、地图学、天体力学、化学、土木工程、时钟设计、流体动力学、流体静力学、磁力学、材料科学、音乐、航海学、光学、气体力学、造船和热力学的发展，都依赖于数学符号系统的建立。
实际上，人们几乎从来不使用文字进行思考，思考时，文字都会转换成图像和符号在脑海里发生，在思考结束之前，文字都不会出现在意识里。正如叔本华写下的：
“思想被文字体现的时刻，它就会死亡。”
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2019-09-01 00:00:00
1967年，在美国参议院小委员会上, 有的议员勾勒出了这样一幅蓝图：到了20世纪90年代，实现每周4天工作制，每周工作22小时，每年劳动6个月，或者将标准的退休年龄提前至38岁。不仅如此，还有大量论文和专著讨论过多的自由时间和闲暇时光的威胁。早在1930年，经济学家凯恩斯就写了一篇评论文章，名为《我们后代在经济上的可能性》，文中指出：到下个世纪，一旦贫困问题得到了解决，享受闲暇的时代就会到来，人们会为闲的无聊而烦恼。
恰恰相反，工作时间减少的趋势并未持续太久。不仅如此，从20世纪80年代开始，形势急转直下，到20世纪90年代初，人们已经开始热议过劳（over work）问题。
1990年，我国出现了第一篇关于过劳的论文（日本的“过劳死”症，《职业与健康》1990年01期），不过此后十年，总计只有21篇相关论文发表，其中多是介绍国外情况的文章。直到2005年以后，这个领域才开始受到关注，参与研究的学者和相关的成果也逐渐增多。2012年，中国适度劳动研究会成立，学会致力于组织、聚集全国适度劳动特别是过度劳动各个相关问题研究的学者，展开包括国际合作与交流的各项活动。2018年6月，应森冈先生邀请，学会成员到日本北海道参加了“中日韩过劳死防止学术研讨会”，双方约定今后加强交流合作。7月，森冈先生为自己的作品《过劳时代》的中文版写下自序。然而，8月1日，这位长期从事过劳问题研究，著作颇丰的关西大学教授，却因劳动过度，心脏病突发离世。
《过劳时代》出版于2005年，用详实的数据介绍了当时日本过度劳动的现状和可能的成因。森冈先生指出，世界各国工作时间的减少趋势在20世纪80年代突然停止，全世界范围内的劳动者都“不辞辛劳”的工作，各个国家相继进入“过劳时代”。书中提出，高度资本主义的四个特征：全球资本主义，信息资本主义，消费资本主义，自由职业者资本主义是人们过度劳动的主要原因。
1. 经济全球化
生产力在发展，随之而来的却是更沉重的劳动负担？
Juliet Schor 在《过度劳累的美国人》（The Overworked American: The Unexpected Decline Of Leisure，1992）一书中，指出了现实中生产力提高劳动时间反而增加的现象。一般来讲，蓝领工人的过劳现象比较普遍。而20世纪末，过劳显然蔓延到白领职场。
随着经济增长，公司间的竞争日益激烈，企业之间频繁并购、重组，“股价至上”的理念开始在公司之间蔓延。为了缩减开支，公司不断裁员、降薪，就业压力增大。然而，由于员工将收入用于投资股票，尽管他们对自己的收入状况不满，但只要股价依然上升，他们就甘心忍受裁员和降薪的痛苦。虽然没有证据表明“股价至上”导致的公司雇佣战略变化是这一系列事件的根本原因，不可否认的是，随之而来的劳动条件的恶化助长了过劳现象。
随着经济全球化的进一步发展，跨国公司开始将劳动密集型的部门转移到人力资源成本更低的国家或地区，从而有效的减少开支。随之而来的是不同地区之间劳动力市场的激烈竞争。一方面在人力成本相对较低的地方，员工只能通过延长劳动时间来获得更多的报酬；另一方面，在人力成本相对较高的地方，员工迫于来自全球劳动市场的竞争压力（他们并不比低收入地区的人民有更强的工作能力），只能忍受加班和降薪。全球化的劳动力竞争，使得各不同国家和地区的平均劳动时间出现的一致性的增长。
2. 信息时代
沟通更便捷，信息处理速度更快，工作量却更大，工作时间却更长？
18时期后半叶，英国发生工业革命，工厂开始大量的引进机器进行生产，工匠靠手艺吃饭的时代一去不返。操作机器生产不再要求男性劳动力以及熟练的技能，女性和童工（在相关法律被建立之前）也进入工厂工作。劳动力的激烈竞争使得劳动时间延长、薪资降低。由于在工厂建设初期需要大量的投资用于购买机械设备，而这些设备并不需要“休息”，如果因为员工休息而导致设备闲置就会造成资本家的损失，因此劳动者受到了进一步的压榨，通过“倒班”等等维持工厂7×24小时的运转。
信息革命对劳动市场的影响重蹈了工业革命的覆辙，计算机技术和网络技术虽然催生了相应的技术型工种，但工作的标准化和程序化也降低了许多工作的用工标准，正式员工的岗位逐渐被临时工岗位取代。新的通讯技术加速了生产流程，加剧了时间竞争。无国界的经济活动模糊了“日-夜”的概念，24小时在线的服务逐渐增多。电话和网络让工作侵入个人生活，上下班的界限变得模糊，很多员工下班后还是会受到工作相关的“电话”或者“电子邮件”的影响。最重要的是，日新月异的技术给人们带来了巨大的学习压力，许多人不得不为了“不被时代淘汰”而花大量的精力学习和适应新的技术。技术的革命带来“先进”的同时也成为了过度劳动的“陷阱”。
3. 消费主义
物质越来越丰富，而享受物质生活的时间却越来越少？
按照一般的经济学规律，劳动者可以根据时薪自由的选择工作时长。随着社会发展，时薪不断增长，劳动者就应该选择更短的工作时间。更一般的，低收入者应该比高收入者工作更长的时间。然而，现实却恰恰相反，在美国（Bluestone and Rose, 2000），管理类、专业类、技术类的工作者，或者说本科以上学历的工作者，或者说中产以上的白领有更长的平均工作时长。日本的情况也与之类似。
造成这种现象的原因是“工作与消费循环”（work and spend cycle）。随着社会发展，劳动者收入增加，中产阶级不仅是主要的工作者，也是主要的消费者。他们之所以在劳动市场上相互竞争，是为了在消费市场上相互竞争，即攀比消费。在工作和消费的循环中，人们的欲望不断增加，为了满足增加的欲望，就不得不拼命工作。
美国前劳动部长罗伯特·莱克（Robert Reich）在他的《胜者的代价》中写道，
作为买方的我们越容易选择更好的商品和服务，作为卖方的我们就越要吸引消费者、维持顾客、抓住机会、签订合同并为此而拼命奋斗。结果，我们的生活节奏也越来越紊乱。
在买卖的循环中，为了鼓励消费，超市、商场的营业时间开始延长，出现了24小时营业的便利店，网上购物，夕发朝至的快递，1小时到家的外送服务，而这些可供消费的产品又进一步加重了劳动的负担，催化产生了更多的过度劳动。
4. 市场个人主义
选择工作更自由，工作却更不自由？
杰弗里·M·霍奇逊（Geoffrey .M Hodgson）在他的《经济学和乌托邦》（Economics and Utopia: Why the Learning Economy is Not the End of History）中指出，所谓市场个人主义，就是通过最大限度的利用市场来保障个人的权利和自由，从原则上否定国家力量对经济运行的调整、限制和干涉。
1944年，国际劳工组织（ITO）的一项附属文件《费城宣言》中提出了ITO的根本原则：
劳动不是商品
“市场个人主义”的支持者则认为，“劳动不是商品”是在当时劳动者与企业主相比是“弱势群体”的条件下提出的，如今能和企业“平起平坐”的劳动者正在逐渐增加。对劳动时间的限制是以过去工厂集体的、统一的劳动方式为前提的，已经不适用于现如今白领阶层复杂的、多样性、个性化的劳动方式。
美国的《公正劳动标准法》将占全部劳动者1/4的白领从工作时间管制的适用对象中排除。根据白领排除制（white collar exemption），白领的工作时长不收限制，也没有额外工资。起初，受惠于蓝领阶层的公会斗争，白领阶层甚至得到了比蓝领更优厚的劳动条件。然而随着经济发展，除了少数例外，白领阶层由于没有公会和法律保护，不断遭遇裁员降薪，甚至出现“白领血汗工厂”的说法。
假设可以自由的选择工作的时长，考虑没有某种强制、压力、竞争、奖励机制存在，“自发性”过劳几乎是无法想象的。但是现实情况是，职场上工作时间的上限实际上是由工作时间最长的人决定的，无论是不是自发的“热衷于工作”，企业只要默许一个员工这样做，就会诱发普遍性的过劳。现代化的工作并不依赖于固定的工作地点，市场化的个人劳动力竞争无疑会进一步加剧过度劳动。
工作与生活平衡
2000 年 3 月，英国贸易产业部提出了“工作与生活平衡”（work-life balance campaign）的口号，通过推行弹性工作制来改善英国人在欧盟各国中工作时间最长的现状。相关的政策一定程度上缓解了超负荷工作的劳动者一方面压力过大，另一方法无法拥有正常的家庭生活的问题。
然而，工作生活平衡的口号只是从公司的角度出发设立的一系列方案，如方面员工育儿设立的托儿所等等，本质上并不能解决劳动者过劳的问题。从劳动者的角度出发，工作时间就是生活方式。当今社会，越来越多的人选择减速生活，相比收入更关注自由时间，相比成功更关注生活质量和自我实现。慢生活才是摆脱过度劳动的根本方式。
在全书最后的建议中，森冈先生提出了劳动者如何减少过度劳动的建议。希望在不久的将来，在多方面的共同努力下，我们可以为过劳时代画上一个句号。
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2019-07-01 00:00:00
1669年，年仅27岁的艾萨克·牛顿被授予剑桥大学卢卡斯教授席位。据传闻，当时剑桥大学资金紧张，包括牛顿爵士在内的诸多教职工工资已经拖欠数月。为了解决这一问题，牛顿潜心研究并创立了微积分。从此，一门名叫“高等数学”的新科目成为了全校的必修课，并规定考试不及格者，来年必须缴费重修直至通过。很快教授们的工资就发下来了。
数学是一门抽象的艺术，它不像物理学——物理学是对现实世界的描述，数学是对想象世界的描述。在这个想象的世界里可以有完美的圆形，虽然现实世界中你没法握着一个真正的圆，但这不妨碍你在想象中测量它的面积和周长。
如果你不能很好的理解数学的奥义，不妨在脑海中想象一个三角形，然后连接三角形的三个顶点和它对边的中点，你可以已经注意到了，这三条线会交于一点。当然，你可以在纸上画出无数个不同的三角形，然后用显微镜仔细的观察这画在纸上的图形中三条线是否交于一点，但那是一个关于物理现实的科学问题。在这里，真正的秘密和纸笔无关，这一秘密是关于想象中的三角形的，这就是数学和物理的区别。我们不妨先放下三角形，先欣赏一番这里所说的想象世界的性质。
提示：超级超级长，不如直接翻到最后一段。
从平面几何到古典微积分
来想象一个边长为1的正方形，没有比这更简单的了。关于正方形有一个古老的问题：它的对角线长度是多少？
答案当然很简单，如同右边的图形所示，以正方形的对角线为边，恰好组成了一个面积为 2 的新正方形。我们可以先不讨论面积为 2 的正方形边长究竟有多长（当然这个关于无理数的话题也非常有趣），如果关注对角线长度 $c$ 和边长 $a$ 之间的关系，可以发现$c^2=2·a^2$。这可以看成是毕达哥拉斯定理的一个特殊形式。如果我们考虑一个矩形的对角线长度，如下图所示。
这个对毕达哥拉斯定理的证明和上面对正方形边长的求解有着异曲同工之妙。4000 年前人们就发现了矩形的对角线和边长之间的关系，但时至今日，这样的巧妙证明仍然让人叹为观止。
在明白了一些基本的技巧之后，我想我们可以试试一些更有趣的图形——五边形的对角线长度是多少。
画出几条对角线之后，我们可以发现三角形ABE与三角形 BFE 全等，而三角形 BFE 与三角形 CFD 相似。假设五边形的边长为 1 ，对角线长为 $d$。则不难发现五边形的边长和对角线长满足：$1/d=(d-1)/1$。或者说：$d\cdot(d-1)=1$。按照代数的方式来求解这样的方程虽然已经很简单，但通过几何的描述可以更容易的发现规律背后的美感。
在这个考虑中我们不妨把一个长方形的长边和短边分别表示为 $(a+b)$ 和 $(a-b)$ 。它们的乘积也就是长方形的面积可以表示为两个正方形面积之差 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。因此 $d(d-1)=1$ 也可以表示成 $(d+1/2)^2-1/4=1$。不难发现五边形的对角线长与边长之比d就恰好是黄金比例。这也是五边形如此迷人的原因。在传统的几何中， 面积和长度都可以通过切割和拼接来表示。而无穷分割就是古典微积分方法的精髓。 如果要求一个圆形的面积，不妨沿着半径把圆切割正无穷多个三角形，这些三角形的高都是圆的半径r，这些三角形的底边长之和恰好是圆的周长 $S$。因此圆的面积也可以表示为 $r\cdot C/2$。
求解圆的周长则和面积相似，在圆的内切正多边形中，随着边数的增加，多边形的周长逐渐逼近圆的周长。很不幸的，圆的周长与直径之比π是一个超越数，这意味着我们只能用增加多边形边数的方法来逼近圆周长，却不能用一个长度来直接表示圆周长。
对体积的讨论也可以通过无穷分割方法转换成立方体体积的叠加。圆柱是一个最简单的例子，当把圆柱切割成无穷多个无限薄的长方体后，可以发现，圆柱的体积和这些长方体的体积之和一样，并且可以写做圆柱底面积 $S$ 和高 $h$ 的乘积。
如果要计算一个锥体的体积，无穷切割的办法可能就比较困难。但如果考虑一个在正方体内的四棱锥，我们可以发现，因为一个正方体有六个面，图中的四棱锥恰好占有正方体体积的 $1/6$，或者说一个四棱锥的体积恰好是和它同底等高的长方体体积的 $1/3$。
这一性质在沿着四棱锥高的方向对它进行拉伸以后依然不变。当我们考虑一个和棱锥有着相同底面积和相同高度的圆锥时，它们的体积是否也一样呢？如果考虑切掉两个椎体最底下的一个薄层，因为棱锥和圆锥有着相同的底面积，那么这个薄层的体积也应该相同。对于棱锥和圆锥剩下的部分，我们可以认为那是一个缩小版的棱锥和圆锥。如果把这个缩小版的锥体按照高度放大成为原来的锥体，可以惊喜的发现，放大后的棱锥和圆锥有着相同的底面积。这意味着，被切掉一层的棱锥和圆锥仍然有着相同的底面积。如果我们重复这个操作，可以意识到，圆锥的体积和拥有相同底面积的棱锥的体积一样，更重要的，它也是拥有相同底面的圆柱体积的 $1/3$。
这个证明告诉我们，如果两个立体的每个平行截面都拥有相同的面积，那么他们的体积也相等。如果我们想计算一个立体的体积，比如说球体，我们可以尝试找到一个和球的截面相等的立体图形。
如图所示的球的截面恰好可以写成一个环形的形式，根据毕达哥拉斯定理，这个环形的内圆恰好是一个同底等高的倒圆锥在同样高度的截面。这意味着，一个半球的体积恰好是一个圆柱的体积减去圆锥体积剩下的部分。考虑到这个圆柱的高和底面圆的半径同为R，则半球的体积恰好为 $2\pi R^3/3$，因此球的体积为 $4\pi R^3/3$。公元五世纪，祖冲之和他的儿子祖暅利用这一方法首次计算出了球体的体积，虽然没有严格证明，但无疑是古典微积分的。
如果要计算球体的表面积（这一过程相当复杂，因为球面的高斯曲率不为0，因此不能展开到一个平面上），我们可以考虑球面由无穷多的——比如说三角形——铺满，而整个球体的体积则和这些三棱锥的体积相等。我们知道考虑这些三棱锥的高都为R，则他们的体积为和同底等高的立方体的 $1/3$。因此整个球体的体积可以表示为球的表面积S与半径R乘积的1/3。我们刚才已经计算过球体的体积，所以表面积 $S=3V/R=4\pi R^2$。
数学思想中的简化就是把未知的问题简化为已知的问题，在古典微积分中，我们把曲线看成是无穷多的直线（段）的组合，把曲面看成是无穷多的平面的组合。在对直线段和平面组成的面积和体积的度量基础上，实现对曲线和曲面性质的测量。
现代微积分
将数字和图像结合的经典范例应该算是数轴的引入。在数轴上，每个点都对应一个数字，数轴是连续的，这些数字也是连续的。我们对平面和空间的理解，可以用在正交数轴中的点来表示。这样一来，每一个几何图形都可以用一组坐标来表示。
如果考虑一个在一维空间内运动的物体，它的运动可以用两个独立的数轴来描述，其中一个描述时间的流逝，另一个则描述它所处的位置。每一个在时间轴上的点，都有一个在坐标轴（x轴）上对应的点。这种对应关系（函数）可以在一个直角化的坐标系中用一条曲线来表述。
如果考虑在一维空间上的匀速直线运动，那么它的“位置-时间”图也是一条直线。更重要的，我们可以发现这条直线的斜率就是运动的速度。这不是巧合，因为速度的定义就是在单位时间内的坐标变化。但如果我们想要测量一个复杂运动的速度，那么在一段时间（$\Delta t$）内的坐标变化（$\Delta x$）就可能不再是固定不变的。
现代微积分的核心就是引入了无穷小的概念。注意：无穷小量即不是 0，也不是一个确定的数值，无穷小描述的是一个趋近与 0 的无穷序列。在这个序列中，1. 每一项都大于 0，2. 后一项比前一项更小。对无穷小这个极限的描述成就了对曲线斜率的定义，即当 $\Delta t$ 为无穷小时 $\Delta x/\Delta t$ 的值就是曲线的斜率。
在古典微积分时代，微分和积分被视为是独立的学科，由于没有系统的计算微分和积分的方法，无穷小的概念也难以获得认可。牛顿和莱布尼茨被认为是同时独立的澄清了微分和积分的关系，虽然也没能给出无穷小的精确定义，但他们给出了微积分的基本计算方法，并且将系统的微积分应用到几何与物理研究。
我们用圆的面积来完成对微分和积分的定义。考虑圆的面积 $S$ 和半径 $r$ 的关系，当 $r$ 增加一个无穷小量 $\Delta r$ 时，面积S的增长可以看成是一个圆环的面积，甚至更简单的可以写为 $\Delta S=2\pi r\Delta r$。根据上面对微分的定义，如果我们做出圆的面积 $S$ 随半径 $r$ 变化的曲线，那么曲线的斜率在半径为 $r$ 的位置则为 $2\pi r$。积分的定义则恰好相反，如果我们写出斜率随半径变化的曲线 $2\pi r-r$，则圆的面积可以表示为这条曲线和横坐标r之间的面积，也就是对 $2\pi r\Delta r$的积分。积分的计算恰好是微分计算的反运算，因此 $S-r$ 曲线在每一点的斜率就构成了 $2\pi r-r$ 曲线，同时 $2\pi r-r$ 曲线的面积就是 $S-r$ 曲线。
微分学还有一个重要的应用就是描述变化，因为微分（或者说导数）是对曲线斜率的描述，我们知道当一条曲线由上升（斜率大于零）转变为下降（斜率小于零）的过程中，一定存在一个斜率为零的点，同时这个点也代表了这条曲线的局部最大值。
我们知道一个圆锥体的体积恰好是包围它的圆柱体积的 $1/3$，但如果我们在球体中画一个圆锥，我们可以发现，随着圆锥的高的变化，我们可以得到不同体积的圆锥。并且，当圆锥的高度由小变大时，它的体积会先变大然后再变小。那么球中所包围的圆锥体积最大为多少呢？我们可以写出圆锥体积V随高度h变化的关系 $V=\pi(2h^2-h^3)/3$。如果画出 $V-h$ 曲线，那么曲线上斜率由正变为负的过程中，斜率为 0 的点就应该是体积V的最大值。
现代分析学改写了古典微积分中的一些表述，在后来的发展中，由柯西给定的无穷小量的严格表述让分析数学成为了从逻辑上到符号上都严谨的逻辑科学。但微积分仍然在应用中有着不可分割的图像意义。
圆锥曲线和自然对数
我们都可以想象圆形在一个方向上拉伸变成椭圆形的情形，更一般的，拉伸变换也可以看成是一种投影变换。如果我们用一个平面去截一个圆柱体，那么截面就相当于圆柱底面在这个平面上的投影，因而也是一个椭圆。同样的情况在我们用一个平面去截一个圆锥体时也会发生。可能有人会觉得，圆锥的截面更可能是一个不那么对称的卵形，但这里有一个非常漂亮的证明。 我们知道椭圆有两个焦点，椭圆上的点到两个焦点的距离和保持不变。如果我们在圆锥和截面之间塞入两个球体，这两个球体刚好处于截面的两侧和截面相切，并且两个球的大小合适因而和圆锥面也相切（切线恰好为一个圆）。下面我们要证明，截面和球体的两个相切点 P, Q 为截面椭圆的焦点。
考虑椭圆上的一点 A，则 AP 为球的一条切线。考虑圆锥顶点与A的连线一定和球与圆锥的切线相交于一点 B，AB 也为球的一条切线。对于球外的一点，我们可以证明该点到球的所有切线都是等长的，因此 AB=AP。同理，我们可以得到 AC=AQ。考虑从顶点出发沿着圆锥面的线段在两个球与圆锥面切线之间的部分，我们可以发现这些线段都是等长的，即 BC=B’C’=B’‘C’‘。因此，对于椭圆上的任意一点，我们都有 AP+AQ=constant。
人们从公元前 200 年就开始研究圆锥曲线的性质，除了椭圆，如果我们继续倾斜截面直到截面和圆锥的外侧平行，那么截得的图形就不在闭合，从投影的角度来看，圆的一侧投影在了平面的无穷远处。这时得到的曲线为抛物线。如果我们继续倾斜截面，这时圆的一部分点就不会再投影到截面上，有趣的是，这部分点会投影在另外一侧。一个圆被投影到一个平面上的两条曲线上，这时的图形也被称为双曲线。双曲线的性质和椭圆恰好相反，双曲线上的点到两个焦点的距离之差为常数。
如果我们考虑一种最简单的双曲线，并且把它写成坐标形式 $x^2-y^2=1$。如果还没有忘记平方差公式，那么我们可以根据 $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ 把双曲线方程变为乘积模式，适当的换元之后我们可以发现，导数函数 $y=1/x$ 和双曲线是一样的。我们关注的重点不在于双曲线的各种变换有怎样的性质，而是希望通过间接的方程来描述更一般的问题。例如，倒数函数 $1/x$ 与坐标轴之间的面积，也就是 $dx/x$ 的积分拥有怎样的形式？
最简单的，我们考虑从 $x=1$ 到 $x=a$ 之间的面积，把它记为 $A(a)$。不难发现这一面积和 $x=b$ 到 $x=ab$ 之间的面积相等。注意：第二个区域的宽度是第一个区域的 $b$ 倍，而在任意位置，第二个区域的高度也是第一个区域的 $1/b$。因此我们可以得到，$A(a)=A(ab)-A(b)$，或者写成 $A(ab)=A(a)+A(b)$。
我们可以暂时放下这条奇特的性质，来回顾一下历史上做过同样事情的人。人们早就发现，乘法的计算相比加法计算复杂的多，那么有没有什么办法把乘法变成加法呢？约翰·纳皮尔在 1610 年发明了一种可以把乘法计算变成加法计算的方法。我们知道，任何数和 10 相乘就是在后面写 0 就可以了，当然这不是因为 10 很特殊，而是因为我们采用 十进制 来表示数。因此对于$10^5\times 10^4$这样的运算，其结果为 $10^{4+5}=10^9$。纳皮尔意识到，对于任意一个数，比如 32768，一定存在一个介于 4 到 5 之间的数 $p$，使得 $10^p=32768$，而对于一个复杂的乘法，比如 $32768\times 48597$，如果我们知道 $10^p=32768$，$10^q=48597$，那么乘积应该为 $10^{p+q}$。他把使得 $N=10^p$ 成立 $p$ 称为 $N$ 的对数，并且制作了“令人钦佩”的对数表，这时复杂的乘法只要查三次表再做一次简单的加法运算就可以完成了。这个方法虽然存在误差，但在当时仍然大大的优化的乘法的计算效率。我们关注的则是他和倒数曲线的面积一样有着把乘法变为加法的神奇性质。
就像我们定义圆的周长和直径的比值为 $\pi$ 一样，我们将正数 $x$ 的自然对数定义为面积 $A(x)$，也就是从 1 到 $x$ 之间倒数函数与坐标轴所夹的面积，并把它记为 $ln(x)$。这个对数的底数——自然对数的底——记为 $e$，因此我们有 $ln(e)=1$。值得注意的是，数学并不是将名称和缩写作为问题的答案，虽然我们用 $ln(x)$ 回答了问题 $dx/x$ 的积分是什么，但更重要的是，我们创造了对数函数的概念，并且它拥有 $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$ 的优美性质。
我们已经知道对数函数简介的微分形式 $d ln(x)=dx/x$，那么其对应的指数函数 $e^x$ 的微分形式又是怎样的呢？如果我们写成 $y=e^x$, 我们有 $dx=dy/y$，因此 $dy=ydx$。我们发现 $e^x$ 的微分形式就是 $e^x dx$。也就是说这个函数在每一点的斜率都和函数值本身相等。自然对数和指数定义弥补了古典指数和对数概念的不足，让指数和对数成为了有连续性定义的基础函数。其奇特性质也成为高等数学教材中最重要的范例。
终于看完了
我想就到这里结束吧，这本名叫《度量》的书，书写了一些基础的微积分知识，从度量长度、面积和体积的角度出发，避开的复杂的概念和严格的证明，用大量巧妙和生动的例子描写了古典微积分和现代分析学的要领。数学是一门关于想象世界的学科，其美感不仅仅是巧妙变换的数字或者图形，而是从图形到数字的完美融合。
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2019-06-03 00:00:00
端午节去看了《加勒比海盗5》，每次去看 IMAX 3D，都觉得 IMAX 10s 的倒计时片头已然值回票价，后面的电影可以算是送的。电影的特效自然不必多说，但剧情则差评一片，无论是冗长的无厘头搞笑，还是翻来覆去的烂梗，以及太过好莱坞的情节反转以及有些略微脑残的设定，都让这部片失色不少。
近年来，Disney 的电影作品多以女性主角为重，无论是《灰姑娘》《美女与野兽》这类本来女性就占很大比重的电影，还是《疯狂动物城》这种几乎没有性别区分的电影，甚至是一直以来以男性角色为重的《星球大战》，Disney 接手后的《原力觉醒》也改用了女性作为镇场主角。《加勒比海盗5》中卡雅·斯考达里奥饰演的 Carina Smyth 也贯穿了全片的主线。作为全片唯一一个有科学素养的女青年，“上通天文、下通钟表”的 Carina 成为了代领一众海盗找到海神三叉戟的舵手。对影片的评价仁者见仁、智者见智，想必看过之后自然有自己的理解，但是影片中所提到的一个细节——计时学（Horology）在航海中的应用，却是一个跌宕起伏的故事。
海盗的古老传说中红月（月食）之夜沿着星空的指示可以找到海神波塞冬的三叉戟，Carina却靠着一块精密的航海钟在茫茫大海上航行。这块和伦敦同步的全世界最准的怀表究竟给Jack船长带来了什么呢？
纬度时代
公元150年，托勒密在绘制人类历史上的第一本地图册时，就为27张地图画上了经纬线。经纬线虽然是人为的划分，但却有着天然的意义：地球以南北极的连线为轴旋转，纬线环绕转轴，从赤道到两级，形成一系列逐渐缩小的同心圆；经线从北极绕道南极再绕回来，一系列大小相等的圆在两极交汇。
纬线作为一天中太阳在地球上运动的轨迹，一年之中从南回归线到北回归线再回到南回归线，抬头看看太阳的高度再数数日历，就可以分辨出现在所处的纬度。然而经度的确定就没有那么容易了，在一望无际的茫茫大海之上，要想知道所处的经度，必须要知道船上的时间（可以根据日出日落来估计）以及某个经度已知的地方在同一时刻的时间。经度是根据时差来计算的，因为地球每24小时要转过360度，所以每差1小时，就在地图上相差15度经度。
15世纪的计时仪器还不能提供足够的精度，无论是沙漏还是怀表，每天高达15分钟的时间误差让经度测量无从谈起。在无法准确的知道经度之前，按照固定的纬线航行就是最佳的方案。1492年，哥伦布就是依赖延纬线航行横渡了大西洋，如果不是被美洲大陆挡住，本来是可以抵达印度的。长达300年的时间里，船长都是依靠 “航位推测法” 来估测他们在始发港以东或者以西多远的地方。船长将一块木头扔到海里来估测航速，依靠罗盘和星辰来估测航向，根据沙漏或者误差很大的怀表来计算时间，再根据洋流风力来推测船所在的经度。
1741年3月7日，乔治·安森的“百夫长”号通过勒梅尔海峡（Straits Le Make），从太平洋进入大西洋，正当他们沿合恩角绕行时，暴风从西面袭来，“百夫长”号在风雨中经历了长达58天的折磨，于此同时，坏血病也在船上蔓延每天都夺取数人性命。安森顶着一连串的打击，基本上沿着南纬60度一路向西航行，舰队中的另外五艘船在风暴中和“百夫长”号失散了。在两个月以来的第一个月明之夜，安森决定调转船头一路向北驶向享有“人间天堂”美誉的费尔南德斯岛。根据“百夫长”号的日志，1741年5月24日，安森最终把船开到了威尔南德斯岛所在的南纬35度纬线上。接下来只要沿着纬线就可以靠岸停泊了。但问题是，往哪个方向开呢？安森先是向西漂泊了四个昼夜，在对原来的选择完全丧失了信心后，又调转船头向东航行。然而看到陆地时，安森非常震惊的发现，那是西班牙所属智利的山崖海岸，完全无法靠岸登陆。安森不得不承认，在放弃向西时，他们离费尔南德斯岛已经只有区区几个小时的航程了。1741年6月9日，“百夫长”号最终在费尔南德斯岛靠岸。尽管安森是以为伟大的航海家，在为了寻找费尔南德斯岛的两个星期里，坏血病又夺取了80个人的性命，而生病的海员靠岸后也没能缓过来，最初的500人死去了一大半。
星空时钟
大海根本没法为经度测量提供任何的线索，但天空一直以来都是天然的罗盘和时钟，晴朗的夜空中星座可以指示方向，而在白天，日出日落就是天然的时间。正午时分太阳会停在最高点，海员就在这个时候校准和设定计时沙漏。只需要一个天文事件，比如马德里在午夜的某个时刻会发生月全食，就可以根据海面上发生月全食的时刻确定自己和马德里的相对经度差异。
1514年，德国天文学家约翰尼斯·沃纳提出了利用月亮和星星的相对位置来测量经度。在固定的地点，月亮总是在固定的时间略过某个星星，如果观测到月亮和星星的交汇，就可以和参考地发生同一时间的时间进行比较，从而测量得到经度。但沃纳的思想太超前了，一百年后，伽利略利用望远镜发现了更为精确的天体钟。他耐心的观测了木星的卫星，并记下了这些卫星消失在木星背后的时间，木星的卫星每年会发生上千次卫星蚀，不仅可以用来校准时钟，还为经度测量提供了可能性。然而要在飘摇的海面上用望远镜观测木星几乎是不可能的，伽利略的方法虽然没能在航海上发挥作用，却为陆地上的地图绘制家提供了准确的经度测量方案。更有意思的是，随着人们对木星卫星蚀的研究，大家发现，在木星和地球相对距离更远的时候，卫星蚀发生的时间被推迟了。丹麦的天文学家奥勒·雷默意识到光信号在穿越了遥远的星际距离后到达时间显示出了距离的不同。1676年，雷默首次利用卫星蚀预测的时间测出了光速。
虽然星空可以用来向罗盘一样辨别方向，但12世纪时，磁罗盘就成为船上的标配，一方面阴雨的天气需要罗盘来指示方向，另一方面，许多航海者相信，晴朗的星空和好罗盘一起，可以测出航船所在的经度。因为罗盘所指示的北极——地磁磁北极和地理北极——地球转轴的北极并不是完全重合的。这种“磁偏法”既不需要同时已知两个地方的时间，也不需要已知一个天文事件何时发生，它似乎实现了在海面上正确测量经度的梦想。然而事实上，罗盘的经度难以准确的指示磁北极的方向，甚至异常的地磁污染和磁场波动都会让经度测量无从谈起。
商人和海员要求采取措施解决经度问题的请愿书在1714年5月呈给了威斯敏斯特宫。6月，英国成立了一个专门的委员会，委员们向当时已经72岁的老前辈艾萨克·牛顿求助，牛顿先是说了钟表法的种种困难，又论述了同样问题重重却多少更有希望的天文法解决方案。经度委员会将牛顿的证词写入了报告，最终的经度法案在1714年7月8日颁布，这份法案对所有的方法一视同仁，也不在英国本土和外国的方案之间分什么彼此，也不管发明着来自哪个科学领域。法案设定了一至三等的奖项：
凡是有办法在地球大圆上将经度确定到半度范围内的，奖励20000英镑；
凡是有办法将经度确定到三分之二度范围内的，奖励15000英镑；
凡是有办法将经度确定到一度范围内的，奖励10000英镑。
在赤道上1度经度大约相当于111公里的距离，英国政府迫切的希望能够有好的方案改变航海业所处的可怜困境。
天才之作
约翰·哈里森于1693年3月24日出生于英国约克郡。年轻时，约翰和父亲学做木工，在他十几岁时，大家就发现他酷爱读书。很快他就从牛顿的《自然哲学之数学原理》和尼古拉斯·桑德森的一些自然哲学讲座讲义中学到了很多有用的东西。20岁那年，哈里森造出了自己的第一台摆钟。这台钟除了是伟大的钟表师约翰·哈里森的作品，还有一个非同寻常的特点：它几乎是用木头制造的。1925年至1927年，哈里森和弟弟合作制作了两台落地式大座钟。在这台钟摆中，哈里森用两种不同的金属——黄铜和钢——长短不同的焊接成钟摆，两种金属此消彼长的膨胀系数让摆长不再因为温度不同而变化。在长达一个月的测试中，哈里森兄弟的钟摆累计误差没有超过一秒钟，这让当时世界上所有具有最高质量的钟表都相形见绌了，它们每天都会有一分钟的漂移。
哈里森晚年回忆道，到了1727年时，获得经度奖金的愿景已经促使他将精力转向航海钟的研究。他深知，在飘荡的海洋上，任何钟摆都是无法工作的。哈里森在头脑中构想出一组富有弹性的跷跷板，他们自成体系相互平衡，因此能经得住最猛烈的颠簸。1730年，哈里森带着他的H-1来到伦敦，希望可以获得经度局的认可。
1736年，在“百夫长”号上完成测试后，英国皇家海军“奥福德”号的船长威尔斯奉命将哈里森和他的H-1送回英格兰。一路上的天气可谓“狂风暴雨和风平浪静交替甚频”，在终于靠近陆地时，威尔斯认为抵达了达特茅斯港附近的著名地点——斯塔特。但是哈里森根据自己的航海中推算的结果说：看到的陆地一定是彭赞斯半岛上的利泽德——一个在斯塔特以西约40公里的地方。H-1的准确预测给威尔斯留下了深刻的印象，哈里森本可以带着H-1要求一次前往西印度群岛的航行试验，并以此获得20000英镑的奖金，但是他过于精益求精，他要求经度局提供一些经费来制造一台更好的时钟。
到了1741年，哈里森带着H-2再次来到经度局时，他已经有点嫌弃它了。虽然H-2成功的经受了各种考验，也一致获得皇家学会的认可，哈里森仍然觉得不够好，他对身边的喝彩声充耳不闻，闭门谢客潜心研制他的第三台时钟。哈里森为H-3引入了不受温度影响的“双金属片”设计以及至今仍被广泛应用的“滚珠轴承”（Caged roller bearing）。然而H-3并没有为哈里森赢得什么荣誉，相反过长的研发时间让哈里森需要不断的向经度局解释跳票的原因。
1759年，哈里森最终完成了那块为他赢得经度奖金的H-4，和之前的三代产品不同，H-4就像是从魔术帽中变出的兔子一样，尽管他的直径达到了5英寸（约13 cm），但和之前的前辈相比则是不折不扣的小不点。“推杆是钻石的”，这是哈里森对H-4的描述，他没有给出任何解释和线索，比如为何选择这种材料，以及如何把宝石打磨成这种至关重要的形状。
然而哈里森已经错过了拿到经度奖的最佳时机，1762年，当时经度局的布拉德利博士是“月距法”的拥护者，尽管在经过81天的海上航行后，H-4仅仅慢了5秒钟，但哈里森却只获得了象征性的1500英镑的奖金——以表彰他制作了“一块堆大众相当有用的手表”。经度局一直以各种各样的理由刁难这位钟表天才，哈里森被要求将H-4的零件一个一个拆开讲解，之后又要将H-4装配好上缴。1765年末，哈里森终于获得了经度局承诺的10000英镑，然而另一半奖金仍然遥遥无期。1772年，哈里森的儿子威廉给国王谢了一封心酸的信，国王接见了威廉，并将哈里森父子纳入自己的辟护之下。政府向经度局施压，在国王的授意下，哈里森放弃了使用法律武器，他说：“我已经是个老人了，我为这些方面的工作奉献了毕生的精力，尽管我成功了，但仅获得了一半的奖金，以及追加的——同时也是无法完成的——新要求”。哈里森最终领到了8750英镑，大体相当于经度奖金中拖欠的余款，但那并不是真正的奖金——那是国会出于善意的奖励，而不是由经度局颁发的奖赏。
哈里森与1776年3月24日去世，享年83岁。他去世后，在钟表制造业中享有烈士般崇高的地位。几十年以来，他孤军奋战，几乎是独自一人，认真地寻求着用计时器解决经度问题的方案。然而突然之间，紧随在哈里森的H-4取得成功后，大批的钟表匠都开始从事制造航海钟这个特殊职业。在海洋大国，它成了一个蓬勃发展的朝阳产业。有一些现代的钟表史学家认为，哈里森的工作帮助英国征服了海洋，因而成就了大英帝国的霸业——因为正是借助于精密时计，大不列颠才得以降服汹涌的波涛。
现如今哈里森的天才之作都展示在英国国家海事博物馆（National Maritime Museum）的格林威治的皇家天文台（Royal Observatory）。英国国王查理二世下令建造了这个天文台，以提高航海的导航能力，并“在海上确定渴望已久的经度，从而完善航海技术”。略具讽刺意味的是，安置哈里森这些精密的航海钟的场所正是它们最大的批评体——天文学家的实验室。这个天文台是为了解决海上经度问题而建立，这些精密的计时仪器同样是为了解决经度问题而制作的。
这本名为《经度》的书，讲述了18世纪这段不太为人所知的钟表史。在H-1问世的半个世纪之后，精密计时终于成为了航海日志中记录经度的重要依据。到了1815年，约有近五千多个精密计时钟表在军舰、商船以及游艇上被使用。哈里森领先世界的发明终于获得了认可，正如书名的副标题所言，这是“一个孤独的天才解决他所处时代最大难题的真实故事”。
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2019-06-02 00:00:00
这本书是著名哲学家伊姆雷·拉卡托斯于20世纪60年代完成的一部探索数学史上新的发现产生过程的经典著作。这本书以对话的形式构成，虚构了教师和学生在课堂上关于多面体的欧拉示性数的讨论。在讨论中，作者形象地展现了数学史上对此问题进行研究探索的真实的历史图景，以此来挑战和批判以希尔伯特为代表的认为数学等同于形式公理的抽象、把数学哲学与数学史割裂开来的形式主义数学史观。此篇光辉论著的主要目的是要解决数学方法论的基本问题，以一种探索和发现的情境逻辑来代替形式主义和逻辑实证主义的抽象教条。正如拉卡托斯所说:
非形式、准经验的数学的发展，并不只靠逐步增加的毋庸置疑的定理的数目，而是靠以思辨与批评、证明与反驳之逻辑对最初猜想的持续不断的改进。
欧拉示性数
对于正多边形来说，顶点数（V）与边数（E）满足 V=E；对于多面体，其顶点数（V）与棱数（E）以及面数（F）似乎满足 V-E+F=2 的简单关系。这一关系最早由笛卡尔与1635年左右证明，但不为人知。欧拉在1750年独立证明了这个公式。后来，笛卡尔的工作被发现，此后这个公式也被称为欧拉-笛卡尔公式。
我们可以尝试简单的测试一下欧拉的猜想：对于四面体，四面体有四个顶点（V=4），六条棱（E=6）和四个面（F=4），所以 V-E+F=2；对于正方体（长方体），V=8，E=12，F=6，所以 V-E+F=2；对于正十二面体，V=20，E=30，F=12，所以 V-E+F=2。
事实上并不是所有的多面体都满足欧拉示性数为2的特征。我们需要一些规范来保证我们讨论的多面体符合欧拉猜想的要求。第一类反例可以通过对规范的定义避免。例如下面的三个例子。
最左边的示意图表示一类中间有空洞的多面体。其欧拉示性数 V-E+F=4。右边的两个多面体似乎是共棱和共顶点的两个四面体。为了排除这些异类，我们可以增加一些对多面体的定义。
定义一，多面体是一个由多边形系统组成的曲面（排除空心立方体）
定义二，多面体的每个棱上恰好有两个多边形相交
定义三，对于多面体上的任何两个多边形，存在一条不穿过任何顶点和棱的路线，可以从一个多边形内部到达另一个多边形内部（排除共棱，共顶点）
另外一个有趣的反例如下图所示，这个反例也被称为饰顶立方体，其欧拉示性数 V-E+F=3。
出现这一状况的原因在于饰顶多面体中出现了一个环状面，我们不妨增加一个定义：
定义四，构成多面体的多边形必须是单联通的。
即使这样，我们仍然可以举出反例——圆柱体。讲道理，圆柱体应该不能算是严格意义上的多面体，因为圆形并不能算是严格意义上的多边形，它甚至不符合多边形顶点数和边数相等（圆有一条边但没有顶点）。圆柱的欧拉示性数V-E+F=1。我们仍然可以通过补充定义的方法来解决这个问题：
定义五，棱有两个顶点。
排除异己是修正猜想正确的一个重要手段，在不破坏猜想本质的情况下，我们总是可以通过补充和准确定义的方式来为猜想划定范围，从而保证一个有意义的猜想不会被奇怪的反例所淹没。
次佳反例
下面要说道的反例是我在正本书中第二喜欢的反例。这个被成为开普勒星状体的多面体由十二个五角星组成，从某种意义上来说，它具有十二个顶点，三十条棱和十二个五角星面，其欧拉示性数为 V-E+F=-6。
如果认为五角星是一个具有五条边和五个顶点的多边形，那么星状体确实不符合欧拉猜想，但事实上，星状体也可以被看成是由60个三角形组成的多面体，它具有三十二个顶点，九十条棱和六十个面，因此 V-E+F=2！
事实上并不需要将星状体排除在欧拉多面体之外，我们需要的，仅仅是在用五角星构成的多面体中区分原来不独立的顶点和面。
定义六，每个顶点上恰好有两个棱相交（星状多边形嵌入到多面体后，来自不同多边形的棱相交构成了新的顶点，原来的五角星状多边形被划分为五个不同的三角形）
对欧拉公式的拓展
我们始终逃不开关于拓扑同源的讨论。试着数数下图中左边隧道多面体， 不难发现其欧拉示性数V-E+F=2。
当然隧道多面体不满足定义四，它有两个面都不是单联通的，但隧道多面体本身的性质却值得讨论。欧拉示性数是一个拓扑不变量，对于一个球面同胚（Sphere）的多面体，欧拉示性数总是2。对于多联通的多面体，比如说环（Torus）同胚的多面体（在满足上面定义的前提下，i.e. 每个面都是单联通的），其欧拉示性数总是0。例如下图中的画框多面体，其环状面由4个梯形组成，由于没有多联通的面，则这个环状同胚的多面体欧拉示性数为0。
如果还记得上面提到的饰顶立方体，其欧拉示性数为3，我们可以做出如下的猜想，每个环状面（双联通面）可以提供+1的欧拉示性数，而每个环状的同胚结构将提供-2的欧拉示性数。因此隧道多面体总是有2的欧拉示性数，因为多面体每增加一个隧道（多一个环），就会增加两个双联通面。例如，隧道多面体右边那个有两个隧道的多面体，它有二十四个顶点，三十六条棱和十四个面，其欧拉示性数仍然为2。
柯西的证明
柯西为满足定义一至定义六的多面体给出了一个较为严格的证明，证明如下，
第一步，对于一个球状同胚的多面体，我们可以去掉它的一个面，并将剩下的面拉伸并平铺在一个平面上。如果我们对一个立方体进行操作（如下图所示），在去掉A面之后，剩下的面可以平铺在平面上。由于我们去掉了多面体的一个面，但并没有减少顶点和棱的个数，那么剩余结构的欧拉示性数应该为1。
第二步，对于平铺在平面上的每个多边形，我们可以画对角线将多边形分割成多个三角形。（由于多面体的每个面都是单联通的，平铺之后也必须是单联通的，注意，这就是为什么必须要排除圆柱的原因，圆柱去掉顶面后平铺会得到一个环，不符合这一证明。）在划分三角形的过程中，每增加一条线段（棱），就会将原来的一个面分割成两个面，即增加了一个面，同时并没有顶点增加，因此欧拉示性数在这一操作中保持不变。
第三步，按照一定的步骤移除这些三角形，首先移除1-4，移除这四个三角形时，每移除一个三角形，减少一个面的同时减少一条棱，并且顶点数保持不变，因此欧拉示性数保持不变。然后按顺序移除5-9，这时每移除一个三角形，就减少一个面，同时减少两条棱和一个顶点，因此欧拉示性数仍然保持不变。最终将只剩下一个三角形。
对于最后的三角形，它拥有三个顶点，三个棱和一个面，其欧拉示性数为1，因此原多面体的欧拉示性数为2。值得注意的是，在这个证明中，平铺，切割和按照一定的顺序移除三角形都是十分重要的。
超越证明的反例
关于欧拉示性数的研究不会止步于此，在这本书中，这是我最喜欢的反例，它拥有 V-E+F=2 的多面体性质，却不能用柯西的方法进行证明。
这个被称为大星状多面体的结构由12个五角星面按照和开普勒星状体不同的方式组合而成。它有20个顶点，30个棱和12个面，因此欧拉示性数为2 。当然柯西的证明也不能解释为什么隧道多面体拥有为2的欧拉示性数，在本书的后一部分，也有一些关于其他证明思路的讨论。
这本书旨在表明，数学发现并不是在基本公理上简单的逻辑推理演绎，而是在证明和反驳的过程中不断修正和完善的体系。哥德尔不完备定理指出，一个自洽的数学系统是不完备的，我们总是需要在讨论中增加更多的假设来修正我们的猜想。因此，即使如数学这样建立在公理体系上的逻辑学，也不是完全确定的，仍然有极大的未知等待探索。
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