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理财学习笔记(2)：不懂不投

2026-01-29 09:51:36

这是本系列的第 2 篇，主题是：不懂不投。

我们刚开始投资理财的时候，通常会寻求以下这些方法来找到投资标的。

常见的错误办法

1、问朋友。我们通常会问那些看起来投资理财收益比较高的朋友，问他们应该买什么股票。
对于朋友推荐的股票，我们通常会“无脑”买入。但如果有一天，股票突然大幅回撤，我们通常就会陷入恐慌。我们会怀疑：这个朋友到底靠不靠谱？他之前赚钱是靠运气，还是因为现在判断出了问题？接着，我们就会陷入各种猜忌、焦虑和紧张中，最后甚至睡不着觉。如果股票持续下跌，我们甚至可能割肉离场。所以说，跟着朋友买其实并不那么靠谱。

2、看走势。我们可能会去看某些股票或基金的历史走势。看到它在过去三年或五年涨得很好，我们就买入。这也是理财 App 或者某些理财经理推荐的首选理由：它过去 X 年涨幅 XX，排名 XX。

但这很容易陷入“价值陷阱”，比如：

周期性误判：有些股票仅仅是在某个周期内表现优秀。比如房地产在过去十年涨得很好，但这并非因为单体公司有多好，而是因为当时整个大环境让所有房企都很赚钱。如果你仅仅因为过去业绩好而买入，一旦遭遇经济下滑或泡沫破裂，就会面临巨大的损失。
均值回归陷阱：很多股票或基金某年表现出色，仅仅是因为那一年的风格与它匹配。所有行业都有“大小年”之分，未来遇到“小年”时，表现自然就会变差。我把这叫做“均值回归”。

这就好比考试：你的平均水平可能是第三名。发挥好的时候能考第一名，发挥不好则可能掉到第五名，但你始终是在第三名上下徘徊。

很多基金经理或股票的表现也是在自身价值上下震荡。如果你在高点买入，在回撤时就会损失惨重，甚至被深套。

3、跟风。跟风是 A 股散户的常见操作，某个时间什么热，就跟风买什么，涨了就快速卖掉，主打一个击鼓传花，赌谁是最后接盘的大傻子。

这种情况下，我们假设你的胜率是 50%。每次获胜挣 20%，每次赌失败亏 20%。如果你进行了 10 次这样的操作，那你整体的收益期望就是 (1.2^5)*(0.8^5)=0.82,所以你折腾了半天，最后 1 块钱的本金变成了 0.82 元。

当然，如果有人认为自己跟风总是赢，这也是有可能的，但是因为自己不敢长期持有，只要涨一点点就卖，其实每次挣的是一点点收益。但是如果偶尔遇到亏损的时候，自己舍不得卖掉，就会一次亏很多。做这种短线操作的人，需要极强的止损纪律，大部分人也是很难做到的。

不懂不投

所以回到股票投资，我觉得投资理财一定要自己懂才行。如果你完全不懂或一知半解，这些都会成为你的陷阱。因为：

心理层面：不懂的人往往“拿不住”。当股票大幅下跌时，无论是否割肉，你都会极度焦虑、睡不好觉，担心本金损失。
投资层面：如果你懂，面对下跌说不定还能逆势加仓；即便不加仓，至少能睡个好觉。

此外，世界上还有很多投资陷阱。有些人甚至专门为“制造陷阱”而生，比如搞资金盘、割韭菜或传销。这些行为有些是非法的，有些则游走在法律边缘。如果大家没有能力分辨这些陷阱，很容易就在投资理财中遭遇严重的亏损。

小结

小结一下，常见的错误投资：

问朋友。其实本质上信的是朋友的业绩，朋友如果业绩下滑，就会怀疑。
看走势。其实本质上是用过去业绩替代未来判断，不靠谱。
跟风。纯投机，50% 胜率下期望是负的。

心理层面，只有懂了，才可能拿得住，睡得着觉。

另外，真正懂也可以避免很多骗局。

以上。

理财学习笔记(1)：每个人必须自己懂理财

2026-01-24 08:20:53

序言

我打算系统性整理一下这几年投学习投资理财的心得。因为一方面通过总结，可以让自己进一步加深对投资的理解。另一方面我也想分享给同样想学习理财的读者们。

我的女儿虽然还在读小学，但我也给她报了一个针对小学生的财商课。她对理财非常有兴趣，我也想通过这一系列的文章，给她分享她爸爸的理财成长经历。

这是本系列的第 1 篇，主题是每个人必须自己懂理财。

我身边的案例

我是 80 年代出生的，不得不说，我所处的是那个年代是缺乏理财和财商教育的。因此，我发现我身边的人大多不具备优秀的理财能力。

下面我举几个身边朋友的真实例子。

朋友 A：

他都把挣到的钱存银行定期或者余额宝。但是在现在这个年代，收益率是非常低的，只有一点几。但是他非常胆小，怕买其他的产品会导致亏损，所以说不敢碰。

朋友 B：

朋友 B 买了很多基金。但是他胆子很小，每个只买 1000 - 5000 块钱。然后账户里面有着几十只基金。既看不过来，也不知道应该如何操作。

唯一好的一面是：不管任何行业有行情，他都有一只基金命中。这让他的错失恐惧症（FOMO）小了很多。

朋友 C：

我这个朋友之前在快手上班，在 P2P 盛行的年代，把自己的所有积蓄都投在 P2P 上，最后爆雷，损失惨重。

朋友 D：

这个朋友通过另外一个朋友了解到有一个股票正在做庄阶段，未来会大涨，于是就听信买入，最后损失了 90%。

朋友 E：

朋友 E 的大学同学有一个在香港卖保险，于是听朋友的推荐在香港买了很多保险。但是过了 5 年，他发现收益率和最初承诺的相差非常大。这个时候看合同才发现，合同上写的收益测算并不保证。但是现在赎回的话，只能拿到非常少的本金，所以他只能继续硬着头皮每年交钱。

只有理解才能有效持有

听完上面几个朋友的故事，你身边有类似的朋友吗？

我跟一些朋友交流，我问他们，你们为什么不自己先学习投资理财的知识，之后再去做相关的操作呢？他们很多回答说，这个事情太专业了，专业的事情交给专业的人做就可以了。

当我反问他们：假如你买了一个专业人士管理的基金，那你对他的信仰来自于哪呢？你其实对他每个月发的报告并没有完全的判断能力，你只能选择相信他。

大多数时候，你其实相信的是他过去的业绩。如果它连续三年、连续五年一直都盈利，或者有超额收益，你就会持续持有它，甚至买入更多。

如果它连续几年亏损或者某一年大额亏损，你就会质疑它，甚至赎回它。

你的信心其实就是来源于过去的业绩表现。那这和散户的追涨杀跌有什么本质区别呢？

在你持仓持续下跌的那些时间，你能睡好觉吗？如果你不能理解它，那显然不能。

所以我说，每个人必须懂投资理财。

只有你深刻理解了你买入的是什么，才能在它下跌的时候有信心继续持有它，甚至抄底，才能睡得着觉。

小结

每个人都必须懂理财。因为银行的定期存款利率太低，而其他理财产品都需要深刻理解，才可能做到长期持有。

另外，社会上充斥着像 P2P 一类的产品，以及宣传这类产品的巧舌如簧的销售。他们不断地诱惑着我们，如果我们没有辨识能力，也可能将自己辛苦一辈子挣到的钱损失掉。

以上。

CSPJ 教学思考：背包问题

2026-01-11 22:41:29

引言

背包问题是动态规划中的经典问题，也是 GESP 六级必考的知识点。其原理虽然需要花一些时间，但大多数孩子都能掌握，但是到了具体的题目时，因为背包问题变化较多，就不那么容易写出代码来。

本文将试图把背包问题的各种考法都列举出来，帮助大家巩固练习。

背包问题

背包问题之所以叫这个名字，是因为其背景故事是：往一个容量有限的背包里面，放入一些物品。每个物品有不同的体积大小，所以会占用相应的背包的容量。物品不能被分割，所以要么整个放入背包中，要么不放入。我们需要找出放入背包的价值最大的方案。

举一个简单的例子，背包容量是 10L：

物品 1：体积 7 L，价值 8
物品 2：体积 5 L，价值 5
物品 3：体积 4 L，价值 4

虽然物品 1 的价值最大，价值/体积(即单位体积的价值)也最大，但是因为放入物品 1 之后，剩余的空间 3L 无法再放入别的物品而浪费掉了。就不如不放物品 1，而放入物品 2 和物品 3 带来的总价值大。

由此我们也能看出，背包问题不能用简单的贪心来解决，而需要用动态规划。

解题思路

背包问题的转移方程可以被优化为一维，但为了方便理解，我们先看没有优化的版本。我们定义：

每个元素的体积为 a[i]，价值为 v[i]。
dp[i][j] 表示用前 i 个物品，放入容量为 j 的背包时，所能达到的最大价值

那对于第 i 个物品，如果我们已经知道了前面的结果，那么我们有两种选择：

不放入第 i 个物品，这样 dp[i][j] = dp[i-1][j]
放入第 i 个物品，这样 dp[i][j] = dp[i-1][j-a[i]] + v[i]

而以上就是状态转移方程，我们在上面两种情况下取最优的情况：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-a[i]] + v[i]) 。

另外我们需要考虑一下初始化的情况，即 dp[0][1~n] 应该怎么赋值。因为前 0 个物品什么都没选，那么价值肯定都是 0，所以让它们都等于 0 即可。

将以上逻辑写成代码如下：

memset(dp, 0, sizeof dp);
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
    for (int j = 1; j <= 10; ++j) {
        dp[i][j] = dp[i-1][j];
        if (j-a[i]>=0)
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-a[i]] + v[i]);
    }

在这段代码中，为了保证 j-a[i] 的值为正，加了一个 if 来检查，保证没有下标越界的代码。如果下标越界，有可能会读取到随机值，也可能读取到非法地址，造成运行异常（Runtime Error）。

我们再用刚刚的例子来做一下表格演示：背包容量是 10L。

物品 1：体积 7 L，价值 8
物品 2：体积 5 L，价值 5
物品 3：体积 4 L，价值 4

经过转移方程的计算，最终，我们可以填出下面这个二维表格，表格中的每一项都计算出来了用前 i 个物品，体积为 j 时的最优化方案。这也是符合动态规划的最优子结构的特征。

01 背包

所谓的 01 背包，就是指物品的数量只有 1 个，只有选与不选两种方案。刚刚的例子就是一个 01 背包的例子。

我们发现 dp[i][j] 只与两个值相关 dp[i-1][j] 和 dp[i-1][j-a[i]]，这样的二维数组利用的效率很低。所以，我们就想到，能不能把第 i 维省略掉，这样可以节省存储空间（但没有节省运算时间）。

压缩后的代码如下：

memset(dp, 0, sizeof dp);
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
    for (int j = 10; j >= a[i]; --j) {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-a[i]] + v[i]);
    }

我们注意到，j 的循环方式从正序变成了逆序。之所以要这么操作，读者可以用表格的方式，把正着循环的结果填一下就能明白。

如果 j 不是倒着循环，在一轮 j 的循环过程中，dp[j] 的值会在修改后，再一次被访问到，这样就会使得一个物品实际上已经计算了放入的价值，又被重复计算第二次。

完全背包

一个物品被多次重复放入和重复计算价值，其实是我们在完全背包问题中需要的效果。所以，刚刚的代码，如果我们把 j 正序循环，就是完全背包的代码，如下所示：

memset(dp, 0, sizeof dp);
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
    for (int j = a[i]; j <= 10; ++j) {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-a[i]] + v[i]);
    }

但是为了方便理解，我们还是把完全背包的非压维代码也一并看一下：

memset(dp, 0, sizeof dp);
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
    for (int j = 1; j <= 10; ++j) {
        dp[i][j] = dp[i-1][j];
        if (j-a[i]>=0) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-a[i]] + v[i]);
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-a[i]] + v[i]);
        }
    }

因为 dp[i][j-a[i]] >= dp[i-1][j-a[i]]，所以以上代码可以省略成：

memset(dp, 0, sizeof dp);
for (int i = 1; i <= 3; ++i)
    for (int j = 1; j <= 10; ++j) {
        dp[i][j] = dp[i-1][j];
        if (j-a[i]>=0) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-a[i]] + v[i]);
        }
    }

我们可以记住这个写法，因为后面有一些题因为各种情况可能无法压维，就会需要这种写法。

我们还是用刚刚的例子来填写二维表格，背包容量是 10L。物品数量改为无限。

物品 1：体积 7 L，价值 8
物品 2：体积 5 L，价值 5
物品 3：体积 4 L，价值 4

以下是填写出来的值：

题目变为完全背包后，可以看到最后答案变了，最优方案变成了放入两个物品 2，得到最大价值 10。

学习完以上内容后，可以让学生练习以下两道题：

题目名	说明
P1048 采药	01 背包问题。NOIP2005 普及组第三题
P1616 疯狂的采药	完全背包问题

以下是更多的背包基础练习题：

题目名	说明
P2871 Charm Bracelet S	01 背包, USACO 07 DEC
P1802 5 倍经验日	01 背包
P1060 开心的金明	01 背包，NOIP 2006 普及组第二题
P1049 装箱问题	01 背包，NOIP2001 普及组
P2639 Bessie’s Weight Problem G	01 背包变型，容量与价值相同
P13015 学习小组	完全背包，GESP 202506 六级
P10721 计算得分	背包问题变种，GESP 202406 六级
P1926 小书童——刷题大军	01 背包，需拆成两个子问题

多重背包

多重背包描述了这样一种场景，一个物品将同时受两个限制条件的制约，例如：一个背包，即有体积限制，又有重量限制，让你往里放物品，求最大化物品价值的放法。

P1794 装备运输就是多重背包的一道典型例题，在题目中，每件武器有体积和重量两个限制条件。

对于多重背包，我们同样用前 i 个物品来划分阶段：

dp[i][j] 表示 i 体积 j 重量下的最大火力。
转移方程：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-v[k]][j-g[k]] + t[k]);

同理，如果物品的数量是无限的，则正着 for，如果物品的数量是有限的，则倒着 for。

P1794 装备运输的参考代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int V, G, N, dp[510][510], v[510], g[510], t[510];

int main() {
    cin >> V >> G >> N;
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        cin >> t[i] >> v[i] >> g[i];
    for (int k = 1; k <= N; ++k)
        for (int i = V; i>= v[k]; i--)
            for (int j = G; j >= g[k]; j--)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-v[k]][j-g[k]] + t[k]);
    cout << dp[V][G];
    return 0;
}

如果把 01 背包和完全背包想像成填一个一维的表格，那么多重背包就在填一个二维的表格。我们需要保证表格的填写过程符合动态规划的阶段性，表格总是从一个方向往另一个方向填，填过的数字不会再次被修改（在没压维的情况下），这样才能保证状态无后效性。

动态规划题目能够划分出清晰的阶段，后一个阶段只依赖于前面的阶段，问题就解决了一大部分。

可供练习的题目如下：

题目名	说明
P1794 装备运输	多重背包
P1910 L 国的战斗之间谍	多重背包
P1855 榨取kkksc03	多重背包
P2663 越越的组队	非多重背包的 DP

背包变型一：物品的相互依赖

P1064 金明的预算方案描述了一种背包问题的变型：在此题中，物品不是简单的 1 个或多个，而是分为主件或附件，每个主件可以有 0 个、1 个或 2 个附件。

应该如何表示这种复杂的物品关系呢？其实，我们可以把物品的每种组合都枚举出来，因为附件数量最多为 2 个，所以情况就可以枚举出以下情况：

不选主件（当然也就没有附件）
选主件，不选附件
选主件+附件 1
选主件+附件 2
选主件+附件 1+附件 2

于是，我们就可以在处理主件的时候，把以上几种情况都比较一下，选最优的方案。

参考代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Node {
    int m;
    int w;
    int t;
};

int n, m;
vector<Node> va;
vector<vector<Node> > vb;
int dp[40000];

void updateDP(int i, int m, int w) {
    if (i-m >= 0) {
        dp[i] = max(dp[i], dp[i-m] + w);
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    va.resize(m);
    vb.resize(m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        Node node;
        scanf("%d%d%d", &node.m, &node.w, &node.t);
        node.w = node.w*node.m; 
        va[i] = node;
        if (node.t != 0) {
            vb[node.t - 1].push_back(node);
        }
    }
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        // 只处理主件，附件与主体一并处理
        if (va[i].t == 0) {
            for (int j = n; j > 0; j--) {
                // 选主件，不选附件
                updateDP(j, va[i].m,va[i].w);
                // 选主件+附件 1
                if (vb[i].size() > 0) {
                    int money = va[i].m + vb[i][0].m;
                    int weight = va[i].w + vb[i][0].w;
                    updateDP(j, money, weight);
                }
                // 选主件+附件 2
                if (vb[i].size() == 2) {
                    int money = va[i].m + vb[i][1].m;
                    int weight = va[i].w + vb[i][1].w;
                    updateDP(j , money, weight);
                }
                // 选主件+附件 1+附件 2
                if (vb[i].size() == 2) {
                    int money = va[i].m + vb[i][0].m + vb[i][1].m;
                    int weight = va[i].w + vb[i][0].w + vb[i][1].w;
                    updateDP(j, money, weight);
                }
            }   
        }
    }
    cout << dp[n] << endl;
    return 0;
}

背包变型二：求最小值

有些时候，我们不是求背包能够装的物品的最大价值，而是求最小价值。例如 B3873 小杨买饮料这题，此题我们可以把饮料的容量当作背包的容量，把饮料的价格当作价值，但是此题相对于标准的背包问题有两个变化：

1、题目希望求最小的费用，相当于背包所装的物品价值需要最低。
2、题目给定的背包容量不固定，而是“不低于 L”。

针对以上的变化，我们的状态定义虽然不变，用 dp[i][j] 表示前 i 种饮料在 j 容量下的最小价值，但是状态转移变成了：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j-l[i]] + c[i], dp[i-1][j])

在这种情况下，初始的第 0 种饮料什么都喝的值为 0，即：dp[0][0] = 0。

但是其它的值就不能设置成 0 了，如果设置成 0，那么任何情况下 dp[i][j]就已经是最小的值了，就不能被更新了。我们需要把 dp[i][j]默认的值设置成“无穷大”，这样才可能更新出有意义的值。

在设置无穷大这件事情上，有一个使用 memset 的技巧，即：memset(dp, 0x7f, sizeof dp);，此技巧将每个字节都填充成了二进制的 01111111（即 0x7f），因为最高为是符号位，所以保留成 0。这种 memset 技巧虽然初始化的值比 INT_MAX 略小一点，但是写起来更快，另外在进行加法运算的时候，也不用担心结果溢出成负数。

以上方案解决了变化一。我们再来看变化二。

变化二使得答案不一定在 dp[i][L]，因为答案不一定是刚好 L 升，所以要取 L ~ L+max(l[i]) 这一段范围。这样就解决了变化二。

最后我们用滚动数组压维，然后因为是 01 背包（每个饮料只能选一次），我们压维之后需要倒着 for 循环背包大小。

以下是参考代码，代码中用 STL 的 min_element 来求最小值，读者也可以参考这种写法：

/**
 * 01 背包问题的变化
 * 
 * 假设第 i 种饮料的费用是 c[i], 容量是 l[i]
 * dp[i][j] 表示用前 i 种饮料，凑成 j 升的最小费用。
 * 
 * 则，转移方程为：
 *  - dp[i][j] = min( dp[i-1][j-l[i]] + c[i] , dp[i-1][j] ) 
 * 
 * 因为 i 只与 i-1 相关，所以这一层可以压缩。转移方式优化为：
 *  - dp[j] = min(dp[j- l[i]] + c[i], dp[j])
 * 
 * 初使化：
 *  - dp[0] = 0;
 *  - dp[1-L] = memset(0x7f)
 * 
 * 其它：
 *  - 倒着 dp，因为每种饮料只能用一次
 *  - 最大值检查了一下，不会超 int，就不用 long long 了
 *  - 因为答案不一定是刚好 L 升，所以要取 L ~ L+max(l[i]) 这一段范围
 *  - 因为是取最小值，所以初使化设置成 0x7f7f7f7f（接近 21 亿，但是又没到 INT_MAX），
 *    这样运算不会超 int，又可以是较大值
 * 
 * Author: Tang Qiao
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[1010000], c[550], l[550], N, L, maxL;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);       
    cin >> N >> L;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> c[i] >> l[i];
        maxL = max(maxL, l[i]);
    }
    maxL += L;
    memset(dp, 0x7f, sizeof dp);
    dp[0] = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = maxL; j - l[i] >= 0; --j) {
            dp[j] = min(dp[j], dp[j - l[i]] + c[i]);
        }
    }
    // 因为答案不一定是刚好 L 升，所以要取 L ~ L+max(l[i]) 这一段范围
    int ans = *min_element(dp+L, dp+maxL+1);
    if (ans == 0x7f7f7f7f) cout << "no solution" << endl;
    else cout << ans << endl;

    return 0;
}

以上代码虽然解决了问题，但是还有一点不完美，就是 dp 数组实在太大了。有没有可能 dp 数组更小呢？我们可以想到，因为每种饮料的价格都是正数，所以，如果有一个答案是超过 2*L 升的情况，同时它的价格极低，这种情况下，我们的答案就是只喝这一种饮料。不会出现超过 2*L 升，我们还叠加喝了两种饮料的情况。

我们可以反证：假如有一个答案是喝两种饮料，总容量超过 2*L 升，那么必定有一个饮料的容量是大于等于 L 升的。那么，我们只喝那个大于等于 L 升的饮料，肯定总价格更低。

所以，我们的优化方案就是：我们只需要把 dp 数组的大小开到 2*L 即 4000 即可（题目规定 L 最大为 2000）。在此优化方案下，我们再特判一下每个大于 L 升的饮料，看是不是更便宜。

以下是参考代码，时间和空间复杂度都更优：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[4100], c[550], l[550], N, L;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);       
    cin >> N >> L;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> c[i] >> l[i];
    }
    memset(dp, 0x7f, sizeof dp);
    dp[0] = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = 4000; j - l[i] >= 0; --j) {
            dp[j] = min(dp[j], dp[j - l[i]] + c[i]);
        }
    }
    int ans = *min_element(dp+L, dp+4000);
    // 如果单个饮料就可以超 L，则判断一下
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        if (l[i] >= L) 
            ans = min(ans, c[i]);

    if (ans == 0x7f7f7f7f) cout << "no solution" << endl;
    else cout << ans << endl;

    return 0;
}

小结：对于求最小值的背包问题，除了 dp[0][0] = 0 外，我们需要把别的初始值设置为 0x7f，以保证递推求 min 的过程中，每个 dp 数组值可以得到更新。

背包变型三：求平均值

有一类题，虽然看着不像是背包问题，但是最后可以抽象成背包问题。而且，他们背包大小都是 sum/2。

P2392 考前临时抱佛脚就是一道典型的例题。

在此题中，每一科的复习都可以看成两个并行的任务，而任务最短的时间就是让一个任务的时间尽可能接近 sum/2。这样，我们就可以把 sum/2 当成背包的容量，把每道题的价值和体积看成相等即可。

因为在本题中，sum 最大值为 20*60 = 1200，所以背包大小最大是 600 即可。

参考代码：

/**
此题可以用动态规划，也可以用搜索，因为每科只有最多 20 个题目，所以搜索空间最大是 2^20 等于约 100 万。

用动态规划解题时，此题可以把每次复习看作一次 01 背包的选择。每道题的价值和成本相同。背包的目标是尽可能接近 sum/2，因为sum 最大值为 `20*60 = 1200`，所以背包大小最大是 600。
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int s[4], v[25], ans, dp[610];

int dpAns(int n) {
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cnt += v[i];
    }
    int m = cnt / 2;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = m; j>=v[i]; --j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + v[i]);
        }
    }
    int ret = max(dp[m], cnt - dp[m]);
    return ret;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d%d", s, s+1, s+2, s+3);
    for (int i = 0; i < 4; ++i) {
        memset(v, 0, sizeof(v));
        for (int j = 0; j < s[i]; ++j) {
            scanf("%d", v+j);   
        }
        ans += dpAns(s[i]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

题目名	说明
P12207 划分	01 背包的变型，蓝桥杯 2023 国

背包变型四：计数

有一类背包问题，不是问你最大的价值，而是问你相关的计数。

例如：P1832 A+B Problem 就是其中的典型例题。

要解此题，我们可以先把质数算出来保存下来，接下来，我们需要用背包的思路，对表格进行计数:

dp[i][j] 表示用前 i 个质数组成 j 一共的可能数
转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-a[i]] + dp[i-1][j-a[i]*2]...

参考代码如下：

/**
 * 解法：
 *  - 无穷背包
 *  - 先把质数算出来，保存在数组里面
 * 
 * dp[i][j] 表示用前 i 个质数组成 j 一共的可能数
 * dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-a[i]] + dp[i-1][j-a[i]*2]...
 * 
 * 初始化：dp[0][0] = 1
 * 
 * 注意：答案需要用 long long 保存。
 * 
 * Author: Tang Qiao
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1010

int a[200];
long long dp[200][MAXN];

bool isPrime(int a) {
    for (int i = 2; i*i<=a; ++i)
        if (a%i == 0) return false;
    return true;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        if (isPrime(i)) 
            a[++a[0]] = i;     

    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= a[0]; ++i) // 第 i 个质数 a[i]
        for (int j = 0; j<= n; ++j) { // 组成 j 这个值
            for (int p = j; p >= 0; p -= a[i]) { // 完全背包，试着放 0-n 个 a[i]
                dp[i][j] += dp[i-1][p];
            }
        }

    cout << dp[a[0]][n] << endl;
    return 0;
}

背包变型五：负数体积

有一些题目，元素的体积会是负数。

P13018 调味平衡就是一道典型的例题。它也是 GESP 202506 七级题目。

第一种解法（空间占用过大）

用上面提到的计数类的方法。

dp[i][j][k] 表示前 i 种食材，达到酸度 j，甜度 k 是否可能。

dp[i][j][k] = dp[i-1][j-a[i]][k-b[i]] 是否可能。

把 i 这一层简化dp[j][k] = dp[j - a[i]][k - b[i]]

初始化：dp[0][0] = 1

但是以上的方法时间和空间消耗(500000x500000)太大。

正确的解法

考虑到可以把一种食材的酸度和甜度求差，得出酸和甜的差值。如果两种食材的差值加起来为零，则刚好酸度=甜度。

这样就可以把 dp 简化。

dp[j]表示前 i 种食材的酸甜度差值 j 是否存在，如果存在，其值为酸甜度的和。
dp[j] = dp[j - dif[i]] + a[i] + b[i]

相当于背包元素的体积变成了差值，价值变成了 a[i] + b[i]。

因为 dif[i] 有正有负，所以为了保证值不会覆盖，我又恢复成二维的 dp：

dp[i][j] 表示前 i 种食物，凑成 j 的酸甜度差的最大和。

因为 j 可能为负值，所以我们把平衡点设置成 50000（可以想像成刚开始差值就是 50000，求最后差值不变）

这样 j 中间最多从 50000 减成 0（因为每个食材差值最大为 500，最多有 100 个食材），所以不会变成负数。

参考代码：

/* 
 * Author: Tang Qiao
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN int(100*500+10)

int dp[110][MAXN*2], n, a, b, c, d;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);    
    cin >> n;
    memset(dp, 0x8f, sizeof dp);
    dp[0][50000] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a >> b;
        c = a-b;
        d = a+b;
        for (int j = 0; j <= 50000*2; j++)
            if (j-c >= 0)
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-c] + d);    
    }
    cout << dp[n][50000] << endl;
    return 0;
}

题目名	说明
P1510 精卫填海	01 背包，但是输出要求有变化
P2430 严酷的训练	01 背包，题目较长，需要仔细读题
P11377 武器购买	01 背包的变型，GESP202412 七级

工作

2025 年是艰难的一年，上半年玩教具业务同比下滑，下半年尝试了一些营销推广，业务量有所稳定，但是赢亏承压。最后一年下来，虽然没亏钱，但是也没挣到钱。好在团队在持续成长，每个岗位的人都比去年有了长足的进步和成长。

2025 年也立项了好几个新项目，这些项目会陆续在 2026 年上线。前面的播种会积累到 2026 年的收获，所以未来怎么样，还是挺值得期待的。

读书

25 年一共读了 8 本书，以下是读书笔记：

其中《不落俗套的成功》和《广告的没落，公关的崛起》是我今年最喜欢的两本书，一本书指导我开始更多关注配置，另一本书指导我如何做品牌。

25 年还开始订阅了纸质版本的《三联生活周刊》，加上雪球 App 每个月给我寄月刊。所以整个 2025 年的阅读量还是不小的。

感悟

今年思考人生，总结了 4 篇文章：

其中“多巴胺”系统那篇我自认为对我自己帮助最大，有效指导了我如何择友，如何工作，如何培养兴趣。

保险那篇文章，也让我理清了保险产品的购买思路，不再纠结要不要买保险，怎么买保险。

编程教学

今年继续在教小朋友编程，关于编程竞赛，今年又总结了如下文章：

加上去年写的三篇，内容越来越丰富了：

财务

2025 是财务收获的一年。

首先是年初公司允许大家出让期权，于是我卖了一些期权，补充了一些现金流。
2025 年初赶个 Deepseek 横空出世，整个港股大涨，我刚好又在那个时候有一些港币，配置了一些港股资产，于是买中了恒生高股息率，比亚迪，工商银行等股票，原来持有的腾讯也大涨。
A 股这边，之前配置的建平从亏损变成浮盈；之前配置的 500 指数增强产品一下子也有 40% 的涨幅。
美股也不用说，标普和纳指继续涨，考虑到已经浮盈很多，我在 12 月将仓位全部清空了。
2025 年一直在定投黄金，最后也成功在一个相对低位（均价 700 多）配置了一定比例的黄金，现在也有 20% 的涨幅。

当然，2025 年配置的新能源组合也亏很多，特别是理想汽车，有 -30% 多的亏损。

更详细的业绩总结如下：

港股：
- 腾讯（00700），成本 374，现价 599，+60%
- 恒生高股息率（03110）
  - 第一笔：成本 23，现价 30，+30%
  - 第二笔：成本 31，现价 30，-2%
- 工商银行，买入 5.4，卖出 6.07，含分红赢利约 15%
- 新能源组合：
  - 理想汽车，-30%
  - 小鹏汽车，-4%
  - 小米，1%
  - 比亚迪，7%
美股：
- 标普和纳指均清仓，整体收益约 10%
私募
- 500 指增，+44%
- 建平远航，+72%
A 股
- 招商银行，+11%
- 红利 ETF 组合，+2%
- 恒生科技 ETF，-6%
黄金：
- 成本 795，现价 1071，+34%

尝鲜

24 小时血糖仪

今年戴了两次 24 小时的血糖仪，每次佩戴 14 天。我整体感觉很受用，它可以监测到不同食物和运动对血糖的影响。

然后我理解了两个事情：

一个是我之前饭后犯困，我大概也猜到是晕碳，现在戴上之后明显就能确认是这个原因。而且我尝试调整饮食之后，因为血糖上升慢，就不犯困了。
第二就是理解了饭后散步和遛弯为什么重要，对比饭后坐着和散步的血糖走势，我一下子就发现散步对降血糖的意义了。所以饭后走个 10 来分钟其实对身体的帮助是很大的。

另外这东西还有一个好处，就是会促进我轻度运动。我现在天气好的时候会尽量骑车上下班，因为这样我的血糖走势会很漂亮。

另外，我对比不同时段吃同样的水果对血糖的影响，明显餐后的影响更小，如下图：

我也总结了一些吃饭顺序的经验：

同样吃一颗橙子，餐前和餐后血糖上升速度和峰值差异很大。优先餐后吃水果，不要空腹吃。
同样是吃饭，先吃蔬菜和后吃蔬菜升血糖速度也差别很大。先吃蔬菜，最后吃碳水。
面食对血糖的提升是迅速的，少吃为妙。

3D打印和建模

公司因为需要，采购了拓竹的 3D 打印机，于是我有一段时间就很痴迷它。拓竹真的是国货之光，把原来只能极客使用的 3D 打印机做成了可以普及的消费品的品质，一些配平等复杂设置都不需要人工介入，机器自动就能完成。

我顺便还在Tinkercad 上学习了建模，然后利用自己学到的建模知识，帮老婆做了一个定制款的精油瓶。它主要可以完美适配我们家的桌面，并且做得很紧凑，可以放更多的瓶子。最后我买了一种松木质感的耗材，这样放在桌子上也很搭。

以下是设计稿截图：

以下是效果：

骑车

今年狠狠地试了一下骑行，但是没有花钱买装备。一方面是因为我的运动量不大，频率不高；另一方面也是希望想骑的时候可以随时骑，想放弃的时候就可以放弃，没有任何压力，共享单车月卡在这方面还是挺方便的。

最狠的一次，我花了周末一个下午绕三环骑了一圈（下图，一共 50 公里）。不过冬天骑行的体验不佳，已经断了有一个月了，希望天气暖和之后可以继续骑起来。

旅行

新疆

五一去了新疆，很值得去的一个地方。我们租了一辆理想 L8，驰骋在满是风力发电站的草原上，感觉非常放松。

希腊

暑假去了希腊。

欧洲的衰败让人感叹时代和周期的变化，当地有很多没人住的空置房（下图：我们下榻酒店附近的一处空置房）。
猫咪在希腊很受人待见，大街和公园上有很多猫咪。
在希腊吃了几天各种西餐之后，最后父母还是忍不住选择中餐，结果我们就把希腊的中餐馆吃了个遍。希腊的物价在欧洲相对低，一个菜大概 80 元人民币左右。
在希腊我也租了一辆车，是一辆 9 座的现代混动 Staria MPV，也非常好开。我们还乘坐渡轮（下图）把车运到了扎金索斯岛，在岛上放松了好几天。

沈阳

十一去了沈阳，就一个感受，物价实在太低太低，锅包肉大概 20 多块钱。租了一辆比亚迪的宋 Pro 混动，油耗特别低，每百公里油耗大概只有 4L。下图是我实际驾驶的数据，因为这辆车只能慢充，所以我一直在亏电情况下行驶，并没有充过电。

这也让我明白了比亚迪为什么出海那么厉害，这么低的油耗在能源较贵的欧洲，其实很有市场。

25 年的目标回顾

工作：硬件稳中有增，图书赢亏打正。带好图书业务。
- ❎ 硬件既不稳，也不增。
- ✅ 图书实际达成 60 分吧。图书赢亏基本打正了，但是要说有多好，还完全谈不上。
理财：做好配置，找到能拿 10 年的标的，并能坚定持有。
- ✅ 配置工作基本完成。先拿两年看看，看自己拿不拿得住。
个人：读 6 本书。编程教学继续累进。
- ✅ 最后读了 8 本书。编程教学写了 11 篇总结。

26 年的目标

工作：
- 产品：今年种下的花，期待 26 年结果。AI 硬件拿到一些认知。
- 运营：实践《广告的没落，公关的崛起》。
理财：
- 不折腾，配置+再平衡。
个人：
- 读 6 本书。
- 俯卧撑能连续做 20 个。
- 骑车绕四环一圈。

个人 Milestone

好象没啥特别能说的，如果非要有什么，就是产出了《构建你的“多巴胺”系统》这篇文章吧。

读《疯狂的尿酸》

2025-12-28 14:14:26

《疯狂的尿酸》是一本关于健康的科普书，来自于美国医学博士：戴维·珀尔马特，他是一位畅销书作家，写过《谷物大脑》和《菌群大脑》。

什么是尿酸

正常人体中的尿酸，2/3 是内源性的。尿酸是嘌呤的代谢产物，而嘌呤是细胞的重要组成部分，可以用来合成 DNA 和 RNA，人类的细胞因为不停地在分裂和衰老，死亡的细胞在被处理的时候就会产生尿酸。

另外 1/3 的尿酸来自于外部摄入的食物，包括动物内脏，海鲜，啤酒等。

果糖是一种特别的糖，它虽然不会造成血糖上升，但是会在代谢的时候产生尿酸。

尿酸会促进脂肪的产生

因为高尿酸与肥胖相关性很高，为了研究他们之间的因果关系，人们发现了“尿酸氧化酶”。这是一种存在于大多数动物体内的酶，能够迅速将尿酸排出体外，但是我们的人类祖先在几百万年的进化过程中，产生这个酶的基因被破坏了，变成了“假基因”。这就使得我们人类血液中的尿酸含量是其他哺乳动物的 3-10 倍。

当远古时代的人类吃下果糖后，果糖会在代谢过程中产生尿酸，而尿酸会打开人体的“脂肪开关”，帮助人体把果糖转化为脂肪。“从水果到脂肪”的生理机制帮助古代的灵长类动物能够度过漫长的、食物匮乏的冬天。

果糖

果糖是所有天然的碳水化合物中最甜的一种，天然的果糖只存在于水果和蜂蜜中，所以人类摄入得很少。而且水果中富含膳食纤维，可以延缓果糖被吸收的速度；而水果中富含的维生素 C 还有降低尿酸及促进尿酸排出的功能，所以吃水果对果糖的提升是很低的，代谢产生的尿酸也很少。

纯葡萄糖和果糖都是单糖（糖的最简单形式），而蔗糖是葡萄糖和果糖的组合，是一种双糖（两个分子连接在一起）。蔗糖进入人体后在小肠被分解，释放果糖和葡萄糖，然后被吸收。

果葡糖浆是一种以果糖为主的糖浆制品，果糖占比约 55%，葡萄糖占比 42%。最早是 1957 年由美国生物化学家理查德·O 马歇尔和厄尔·R 科伊生产出来，他们创造了一种酶，可以通过化学方法使玉米糖浆中的葡萄糖的结构重新排列，将其转化为果糖。

果葡糖浆从 20 世纪 70 年代开始流行，主要是因为其甜度比蔗糖高，价格又比蔗糖低，所以逐渐取代了蔗糖。到了 1984 年，可口可乐和百事可乐也都把各自品牌的饮料从添加蔗糖改为添加果葡糖浆。

果糖的升糖指数是所有天然糖中最低的，这意味着它不会直接导致血糖升高，也就不会刺激胰岛素的分泌，所以在一段时间内，人们把果糖视为一种“更安全”和“健康”的糖。但后来人们发现，相比于葡萄糖参与能量生成，果糖则参与能量储存，所以更容易让人肥胖。

果糖的代谢过程

果糖和葡萄糖除了一些化学键不同，其他结构几乎完全一样。然后，正是这微小的差异使得它们的代谢过程完全不同。

葡萄糖代谢的第一步（葡萄糖的磷酸化）是在葡萄糖激酶催化下分解，分解所释放的 ATP 也会在细胞中维持稳定的水平。ATP（三磷酸腺苷）是人体能量的来源。

果糖的代谢与葡萄糖完全不同。果糖在进入人体后，会迅速被血液吸收，然后被运输到肝脏中进行代谢。在肝细胞内，果糖激酶会开始工作，做出包括消耗 ATP 在内的一系列事情。果糖会消耗 ATP 的过程会带来一些下游效应，它会导致血液中的尿酸水平快速上升。由于果糖消耗了 ATP，细胞会发出信号：我们的能量快用完了。这会促使身体减缓新陈代谢以减少静息能量消耗。

除了消耗能量外，果糖还会触发脂肪的生成过程：肝脏中的果糖代谢会直接导致脂肪的产生：主要是以甘油三酯的形式存在，这是人体中最常见的脂肪存在形式。

AMP 活化蛋白激酶

AMP 活化蛋白激酶被激活时，它会向你的身体发出“狩猎状况良好”（即食物充足）的信号，你的身体就会让自己从储存脂肪转换为燃烧脂肪，帮助身体保持良好的狩猎状态。

AMP 活化蛋白激酶还可以帮助身体减少葡萄糖生成。二甲双胍就利用了这一点来实现降血糖。

与AMP 活化蛋白激酶对应的，还有一种让身体储存脂肪的酶，叫做腺苷单磷酸脱氨酶 2。动物在准备冬眠的时候，就会激活腺苷单磷酸脱氨酶 2 用于储存脂肪；在冬眠的时候，则切换到AMP 活化蛋白激酶用于燃烧脂肪。

而果糖代谢过程产生的尿酸，就是这两种酶的调节剂，尿酸能够抑制AMP 活化蛋白激酶，同时激活腺苷单磷酸脱氨酶 2 。

断食

作者推荐大家可以尝试 24 小时的断食，即：24 小时内不吃任何东西，且大量饮水。如果正在服用药物，务必继续服用。

我也见过一种 16：8 的轻断食方法：即 16 小时断食，8 小时进食。通常时间设置为中午 12 点-下午 8 点，或者上午 10 点到晚 6 点。

小结

本书主要揭示了果糖和尿酸在人体代谢中的核心原理，让我们更加关注饮食和内分泌的健康。

和媒体共赢 - 读《广告的没落，公关的崛起》

2025-12-11 21:20:47

最近读完了《定位》作者艾·里斯的另一本书《广告的没落，公关的崛起》，记录一些心得。

广告的没落

当一个广告让消费者意识到是广告时，广告的效果就会大打折扣。

我记得当年脑白金就把广告做成报纸的新闻报道形式，以此来让大家误以为是报纸在宣传脑白金的功效。但现在广告的监管越来越严，这种擦边的广告越来越难通过审核。

广告追求创意，但消费者购买的是产品。

如果一个产品广告很有创意，但是产品本身很普通。另一个广告很普通，但是产品本身很好。大家还是更可能购买后者。

广告追求创意和讨论，但是真正到了决策环节，影响决策的还是产品本身的心智，而不是广告创意。

产品的创意（创新）比广告的创意更重要。

品牌是潜在顾客心智中的一个认知。

广告很难进入消费者的心智。

相比于广告，公关（具体指通过媒体等第三方途径，间接讲述你的故事）更有可信度，也更有传播性。

消费者在试图评估一个品牌的时候，更倾向从朋友、亲戚，还有权威网站上获得信息，而不是广告。

公关的崛起

因为广告很难进入消费者心智，那么就应该更多通过公关来建立品牌。在通过公关建立品牌后，可以把广告作为维护品牌的工具。

书中结合各种品牌案例，提到了一些技巧。

技巧一：为媒体传播而设计，包括提前透露消息、新的品类/品牌名称、可信度的发言人。书中的案例是 Segway 平衡车。

技巧二：成为争议话题。案例是红牛（某些成份被禁，激发年轻人尝试的好奇心）。

技巧三：创意。为品牌增加一些东西，引起讨论。

技巧四：从小媒体入手。没人比媒体更多地浏览媒体。案例是《定位》一书，该书刚开始只在一个小媒体中被报道，但后来被《华尔街日报》发现，跟进了报道。

我的一些感受

看完本书之后，我刚好刷到一位媒体记者在微博上吐槽小米的公关（如下图）。但是我却从这段话中，看到小米在努力让自己的任何商业行为都成为公关传播的话题。在公关这件事情上，小米做得是非常优秀的。

以上。

DevTang | 唐巧修改