2025-07-13 12:50:02
最近我在 bgg 上闲逛时了解到了“Make-as-You-Play”这个游戏子类型，感觉非常有趣。它是一种用纸笔 DIY （或叫 PnP Print and Play）的游戏，但又和传统 DIY 游戏不同，并不是一开始把游戏做好然后再玩，而是边做边玩。对于前者，大多数优秀的 PnP 都有专业发行商发行，如果想玩可以买一套精美的制成品；但 Make as You Play 不同，做的过程是无法取代的，做游戏就是玩的一部分。
深度未来 Deep Future 是“做即是玩”类型的代表作。它太经典了，以至于有非常多的玩家变体、换皮重制。我玩的官方 1.6 版规则。btw ，作者在 bgg 上很活跃，我在官方论坛八年前的规则讨论贴上问了个规则细节：战斗阶段是否可以不损耗人口“假打”而只是为了获得额外加成效果。作者立刻就回复了，并表示会在未来的 1.7 规则书上澄清这一点。
读规则书的确需要一点时间，但理解了游戏设计精神后，规则其实都很自然，所以游戏进程会很流畅。不过依然有许多细节分散在规则书各处，只有在玩过之后才会注意到。我（单人）玩了两个整天，大约玩了接近 100 局，酣畅淋漓。整个游戏的过程有如一部太空歌剧般深深的刻印在我的脑海里，出生就灭亡的文明、离胜利只有一步之遥的遗憾、兴起衰落、各种死法颇有 RogueLike 游戏的精神。难怪有玩家会经年玩一场战役，为只属于自己战役的科技和文明设计精美的卡片。
在玩错了很多规则细节后，我的第一场战役膨胀到了初始卡组的两倍，而我也似乎还无法顺利胜利哪怕一局。所以我决定重开一盒游戏。新的战役只用了 5 盘就让银河推进到了第二纪元（胜利一次），并在地图上留下了永久印记，并制作了第一张文明卡片。这些会深刻的影响同场战役的后续游戏进程。
我感觉这就是这类游戏的亮点：每场游戏都是独特的。玩的时间越长，当前游戏宇宙的特点就有越来越深刻的理解：宇宙中有什么特别的星球、科技、地图的每个区域有不同的宜居星球密度，哪里的战斗强度会更大一些…… 虽然我只玩了单人模式，但游戏支持最多三人。多人游戏可以协作也可以对抗。你可以邀请朋友偶尔光临你的宇宙玩上两盘，不同的玩家会为同一个宇宙留下不同的遗产。和很多遗产类游戏不同，这个游戏只要玩几乎一定会留下点什么，留不下遗产的游戏局是及其罕见的。也就是说，只要玩下去哪怕一小盘都会将游戏无法逆转的改变。
下面先去掉细节，概述一下游戏规则：
游戏风格类似太空版文明，以一张六边形作为战场。这是边长为 4 的蜂巢地图（类似扩大一圈的卡坦岛），除去无法放置人口方块的中心黑洞，一共是 36 个六边形区格。玩家在以一个母星系及三人口开局，执行若干轮次在棋盘上行动。可用行动非常类似 4X 游戏：生产、探索、繁殖、发展、进攻、殖民。
每个玩家有 4 个进度条：文化 C、力量 M 、稳定 S 、外星 X。除去文化条外，其余三个条从中间开始，一旦任意一条落到底就会失败；而任意一条推进到顶将可能赢得游戏。文化条是从最底部开始，它推进到顶（达成文化胜利）需要更多步数，但没有文化失败。
另外，控制 12 个区域可获得疆域胜利，繁殖 25 个人口可获得人口胜利。失去所有星球也会导致失败。在多人模式中，先失败的玩家可以选择在下个回合直接在当前游戏局重新开始和未失败的玩家继续游戏（但初始条件有可能比全新局稍弱）。
游戏以纯卡牌驱动，每张卡片既是行动卡，又是系统事件卡，同时卡片还是随机性的来源。抽取卡片用于产生随机性的点数分布随着游戏发展是变化的，每场战役都会向不同的方向发展，这比一般的骰子游戏的稳定随机分布会多一些独有的乐趣。
玩家每轮游戏可作最多两个独立的行动：
在执行这些行动的同时，如果玩家拥有更多的科技，就可能有更多的行动附加效果。这些科技带来的效果几乎是推进胜利进度条的全部方法，否则只有和平状态的 BATTLE 行动才能推进一格进度条。
在行动阶段之后，系统会根据玩家帝国中科技数量的多寡产生不同数量的负面事件卡。科技越发达，面临的挑战越大。但可以用手牌支付科技的维护费来阻止科技带来的额外负面事件，或用手牌兑换成商品寄存在母星和科技卡上供未来消除负面事件使用。
负面事件卡可能降低玩家的胜利进度条，最终导致游戏失败；也可能在地图增加新的野生星球及野怪。后者可能最终导致玩家失去已殖民的星球。但足够丰富的手牌以及前面用手牌制造的商品和更多的殖民星球可以用来取消这些负面事件。
每张星球卡和科技卡上都有三个空的科技栏位，在生成卡片时至少会添加一条随机科技，而另两条科技会随着游戏进程逐步写上去。
游戏达成胜利的必要条件是玩家把母星的三条科技开发完，并拥有至少一张完成的科技卡（三条科技全开发完毕），然后再满足上面提到的 6 种胜利方式条件之一：四个胜利进度条 C T S X 至少一条推进到顶，或拥有 12 区域，亦或拥有 25 人口。
胜利的玩家需要将给当局游戏的母星所在格命名，这会影响后面游戏的开局设定。同时还会根据这局游戏的胜利模式以及取得的科技情况创造出一张新的文明卡供后续游戏使用。
游戏以 36 张空白卡片开始。一共有 6 种需要打出卡片的行动，（EVOKE 和 PLAN 不需要行动卡），每种行动在6 张空白卡上画上角标 1-6 及行动花色。太阳表示 POWER ，月亮表示 SETTLE ，爱心表示 GROW ，骷髅表示 ADVANCE ，手掌表示 BATTLE ，鞋子表示 EXPAND 。这些花色表示卡片在手牌上的行动功能，也可以用来表示负面事件卡所触发的负面事件类别（规则书上有一张事件查阅表）。
数字主要用来生成随机数：比如在生成科技时可以抽一张卡片决定生成每个类别科技中的 6 种科技中的哪一个（规则书上有一张科技查阅表），生成随机地点时则抽两张组成一个 1-36 的随机数。
我初玩的时候搞错了一些规则细节，或是对一些规则有疑惑，反复查阅规则书才确定。
开局的 12 个初始设定星球是从 36 张初始卡片中随机抽取的卡片随机生成的，而不是额外制作 12 张卡片。
如果是多人游戏，需要保证每个玩家的母星上的初始科技数量相同。以最多科技的母星为准，其余玩家自己补齐科技数量。无论是星球卡还是科技卡，三个科技的花色（即科技类别）一定是随机生成的。这个随机性通过抽一张卡片看角标的花色决定。通常具体科技还需要再抽一张卡，通过角标数字随机选择该类别下的特定科技。
每局游戏的 Setup 阶段，如果多个野生星球生成在同一格，野怪上限堆满 5 个即可，不需要外溢。但在游戏过程中由负面事件刷出来的新星球带来的野怪，放满格子 5 个上限后，额外的都需要执行外溢操作：即再抽一张卡，根据 1-6 的数字决定放在该格邻接的 6 格中的哪一格，从顶上面邻格逆时针数。放到版图外面的可以弃掉，如果新放置的格也慢了，需要以新的那格为基准重复这个操作，直到放完规定数量。放在中心黑洞的野怪暂时放在那里，直到所有负面事件执行外，下一个玩家开始前再弃掉。
开始 START 阶段，玩家是补齐 5 张手牌，如果超过 5 张则不能抽牌但也不需要丢到 5 张。超过 10 张手牌则需要丢弃多余的牌。是随机丢牌，不可自选。
殖民星球的 START 科技也可以在开始阶段触发且不必丢掉殖民星球。但在行动阶段如果要使用殖民星球的科技，则是一次性使用，即触发殖民星球上的科技就需要弃掉该星球。
在 START 阶段触发的 Explorarion 科技可以移动一个 cube 。但它并不是 EXPAND 行为，所以不会触发 EXPAND 相关科技（比如 FTL）,也无法获得 Wonder 。和 EXPAND 不同，它可以移动区域中唯一的一个 cube ，但是失去控制的区域中如果有殖民星球，需要从桌面弃掉。
玩家不必执行完两个行动、甚至一个行动都不执行也可以。不做满两个行动在行动规划中非常普遍。
EVOKE 和 PLAN 行动会立刻结束行动阶段，即使它是第一个行动。所以不能利用 EVOKE 和 PLAN 的收益在同一回合再行动。
行动的科技增益是可选发动的。同名的科技也可以叠加。母星和桌面的科技卡上提供的科技增益是无损的，但殖民星球和手上的完整科技卡提供的科技是一次性的，用完就需要弃掉。
完成了三项科技的科技卡被称作完整科技卡，才可以在当前游戏中当手牌使用。不完整科技卡是不能当作手牌提供科技增益的。
SETTLE 行动必须满足全部条件才可以发动。这些条件包括，你必须控制想殖民的区域（至少有一个人口在那个格子）；手上需要有这个格子对应的星球卡或该星球作为野生星球卡摆在桌面。手上没有对应格的星球卡时，想殖民必须没有任何其它星球卡才可以。这种情况下，手上有空白卡片必须用来创造一张新的星球卡用于殖民，只有没有空白卡时，才创造一张全新的星球卡。多人游戏时，创造新的星球卡的同时必须展示所有手牌以证明自己没有违反规则。如果殖民的星球卡是从手牌打出，记得在打出星球卡后立刻抽一张牌。新抽的牌如果是完整科技卡也可以立刻使用。如果星球卡是新创造的，或是版图上的，则不抽卡。
SETTLE 版图上的野生星球的会获得一个免费的 POWER 行动和一个免费的 ADVANCE 行动。所谓免费指不需要打出行动手牌，也不占用该回合的行动次数。这视为攻打野生星球的收益，该收益非常有价值，但它是可选的，你也可以选择不执行
SETTLE 的 Society 科技增益可以让玩家无视规则限制殖民一个星球。即不再受“手牌中没有其它可殖民星球”这条限制，所以玩家不必因此展示手牌。使用 Society 科技额外殖民的星球总是可以选择使用手上的空白卡或创造一张新卡。这个科技不可堆叠，每个行动永远只能且必须殖民一个星球。
SETTLE 的 Goverment 科技增益可以叠加，叠加时可以向一科技星球（星球卡创建时至少有一科技）添加两个科技，此时玩家先添加两个随机花色，然后可以圈出其中一个选择指定科技，而不需要随机选择。
GROW 的 Biology 科技增益必须向不同的格子加人口，叠加时也需要每个人口都放在不同格。如果所控区域太少，可能浪费掉这些增益。
如果因为人口上限而一个人口也无法增加，GROW 行动无法发动。所以不能打出 GROW 卡不增加人口只为了获得相关科技增益。
未完成的科技卡在手牌中没有额外功能。它只会在 ADVANCE 行动中被翻出并添加科技直到完成。如果 ADVANCE 时没有翻出空白卡或未完成的科技卡，则创造一张新科技卡。新创建的科技卡会立刻随机生成三个随机花色。玩家可以选择其中一个花色再随机出具体科技。在向未完成的科技卡上添加新科技时，如果卡上没有圈，玩家可以选择圈出一个花色自主选择科技，而不必随机。一张卡上如果圈过，则不可以再自主选择。
ADVANCE 的 Chemistry 科技增益可以重选一次随机抽卡，可以针对花色选择也可以针对数字选择。但一个 Chemistry 只能重选一次，这个科技可以叠加。
ADVANVE 的 Physics 科技增益只能作用于科技卡，不能针对星球卡的科技。当 Physics 叠加两次时（三次叠加没有意义，因为科技卡只能有一科技，最多三科技），玩家可以自主选择新加的两条科技不必随机选择。注意，花色一定是随机生成的。
只有在所有邻接格都没有敌人（野怪和其他玩家）时，才可以发动 BATTLE 行动的推进任意胜利条的功能。战斗默认是移除自己的人口，再移除敌人相同数量的人口。但可以选择移除自己 0 人口来仅仅发动对应增益。所以 BATTLE 行动永远都是可选的。
BATTLE 的 Military 科技增益新增的战场可以重叠，即可以从同一己方格攻打不同敌人格，也可以从多个己方格攻打同一敌人格。和 Defence 科技增益同时生效时，可以一并结算。
EXPAND 行动必须移动到空格或己方控制格，但目的地不可以超过 5 人口上限。永远不会在同一格中出现多个颜色的人口。移动必须在出发地保留至少一个人口。当永远 FTL 科技增益时，可以移动多格，途经的格不必是空格，也可以是中心黑洞。
EXPAND 行动移动到有 Wonder （过去游戏留下来的遗产）的格子，且该格为空时，可以通过弃掉对应花色的手牌发动 Wonder 能力，其威力为弃牌的角标数字。Wonder 只能通过 EXPAND 触发，不会因为开局母星坐在 Wonder 格触发。
BATTLE 的 spaceship 科技增益需要选择不同的目的地，多个叠加也需要保证每个目的地都不相同。
PLAN 行动制造新卡时，只有花色是自选的，数字还是随机的。PLAN 会结束所有行动。
行动阶段后的 Payment 阶段可以用来消除之后 Challenge 阶段的负面事件数量。方法是打出和母星及科技卡上对应的科技花色，每个图标对应一张。每抵消一张就可以减少一张事件卡，但事件卡最后至少会加一张不可抵消。每次抵消一个科技引起的事件卡，都可以向科技所在卡片（母星或科技卡）上添加一个 upkeep 方块。每张卡上的方块上限为 3 ，不用掉就不再增加。但到达上限后，玩家依旧可以用手牌抵消事件，只不过不再增加方块。
挑战阶段，一张张事件卡翻开。玩家可以用对应花色的手牌取消事件，也可以使用桌面方块取消，只需要方块所在卡片上有同样花色。还可以使用殖民星球取消，需要该星球上有对应花色的科技（不是星球卡的角标花色）。但使用殖民星球需要弃掉该星球卡。不可使用母星抵消事件卡。
事件生效时，如果需要向版图添加野怪。这通常是增加随机方块事件，和增加野外星球事件（带有 5 方块）。增加的方块如果在目标格溢出，需要按规则随机加在四周。
如果增加的方块所在格有玩家的方块，需要先一对一消除，即每个增加的野怪先抵消掉一个玩家方块。如果玩家因此失去一个区域，该区域对应的桌面星球也需要扔掉，同时扔掉牌上面的方块。如果母星因此移除，玩家可以把任意殖民星球作为新的母星。移除的母星会变成新的野外星球。如果玩家因此失去所有星球就会失败。在多人游戏中，失败的玩家所有人口都会弃掉，同时在哪些有人口的格放上一个野怪。
游戏胜利条件在行动阶段达成时就立刻胜利，而不需要执行后续的挑战行动。在单人游戏中，除了满足常规的胜利条件外，还需要根据版图上的 Wonder 数量拥有对应数量的殖民星球（但最多 4 个）。玩家胜利后应给当前母星所在格标注上名字，这个格子会在后续游戏中刷多一个野怪。玩家可以创建一张文明卡，文明卡的增益效果和胜利条件以及所拥有的科技相关，不是完全自由选择。
不是每局胜利都会创造 Wonder 。需要玩家拥有至少 5 个同花色科技，才能以此花色创造 Wonder 。每个 Wonder 还需要和胜利模式组合。Wonder 以胜利玩家的母星位置标注在版图上，胜利模式和科技花色的组合以及 Wonder 地点不能在版图中重复。
这个游戏给我的启发很大。它有很多卡牌游戏和电子游戏的影子，但又非常独特。
不断制作卡牌的过程非常有趣，有十足的创造感。读规则书时我觉得我可能不会在玩的过程中给那些星球科技文明起名字，反正不影响游戏过程，留空也无所谓。但实际玩的时候，我的确会给三个半随机组合起来的完整科技卡起一个贴切的名称。因为创造一张完整的科技卡并不容易，我在玩的过程中就不断脑补这是一项怎样的科技，到可以起名的时候已经水到渠成了。
更别说胜利后创建文明卡。毕竟游戏的胜利来得颇为艰难。在失败多次后，脑海中已经呈现出一部太空歌剧，胜利的文明真的是踏着前人的遗产（那些创建出来的独有卡片）上成功。用心绘制一张文明卡真的是乐趣之一。我在 bgg 上看到有玩家精心绘制的带彩色头像的文明卡，心有戚戚。
游戏的平衡设计的非常好，有点难，但找到策略后系统也不是不可战胜的。关键是胜利策略会随着不断进行的游戏而动态变化：卡牌角标会因新卡的出现而改变概率分布，新的科技卡数量增加足以影响游戏策略，卡组里的星球科技会进化，星球在版图上的密度及分布也会变化…… 开局第一代策略和多个纪元的迭代后的策略可能完全不同，这让同一个战役（多局游戏的延展）的重玩价值很高。
用卡牌驱动随机性是一个亮点：以开始每种行动都是 6 张，均匀分布。但会因为星球卡打在桌面（从卡堆移除）而变化；更会因为创造新卡而变化。尤其是玩家可以通过 PLAN 主动创建特定花色卡片，这个创造过程也不是纯随机的，可以人为引导。负面事件的分布也会因此而收到影响。
用科技数量驱动负面事件数量是一个巧妙的设计。玩家获得胜利至少需要保有 6 个科技，即使在游戏后期纪元，也至少需要创造一个新科技，这会让游戏一定处于不断演变中。强力的桌面卡虽然一定程度的降低了游戏难度，但科技越多，每个回合潜在的负面事件也越多。以 3 科技开局的母星未必比单科技开局更容易，只是游戏策略不同而已。
每局游戏的科技必须创造出来（而不是打出过去游戏创造的科技牌）保证了游戏演变，也一定程度的平衡了游戏。即使过去的游戏创造出一张特别强力的科技，也不可以直接打在本局游戏的桌面。而只能做一次性消耗品使用。
一开始，负面事件的惩罚远高于单回合能获得的收益。在不太会玩的时候，往往三五回合就突然死亡了。看起来是脸黑导致的，但游戏建议玩家记录每局游戏的过程，一是形成一张波澜壮阔的银河历史，二是当玩家看到自己总是死于同一事件时有所反思，调整后续的游戏策略。
而战役的开局几乎都是白卡和低科技星球，一定程度的保护了新手玩家，平缓了游戏的学习曲线。边玩边做的模式让战役开局 setup 时间也不会太长，玩家也不会轻易放弃正常战役。
单局失败是很容易接受的，这是因为：单局时间很短，我单刷时最快 3 分钟一局，长局也很少超过 10 分钟。每局 setup 非常快。而游戏演化机制导致了玩家几乎不可能 undo 最近玩的一局，因为卡组已经永久的改变了。不光是新卡（因为只增加新卡的话，把新制造的卡片扔掉就可以 undeo ），还会在已有的卡牌上添加新的条目。
虽然我只玩了单人模式（并用新战役带朋友开了几局多人模式），但可以相像一个战役其实可以邀请其他玩家中途加入玩多人模式。多人模式采用协作还是对抗都可以，也可以混杂。协作和对抗会有不同的乐趣，同时都会进化战役本身。这在遗产类桌游中非常少见：大多数遗产类游戏都有一个预设的剧本和终局条件，大多推荐固定队伍来玩。但这个游戏没有终局胜利，只有不断创造的历史和不断演化的环境，玩家需要调整自己的策略玩下一局。
2025-06-15 18:52:47
以下从我最近两个月发的推文中整理。
晚上可可读着书在床上睡着了。我没叫醒她，给她盖了被子就睡了。早上醒来时她跟我说，完蛋了，昨天晚上我没有洗澡。我说没关系，别被妈妈发现就好了。然后她蹑手蹑脚的偷偷起来换了身衣服，然后又躺回来睡觉。
可可的同学喊她联机 minecraft ，我在隔壁看书，听她们在微信上聊了半天硬是鸡对鸭讲。我过去跟她说，你把电脑屏幕拍个照片给她看不就好了。结果对面喊了句：你怎么玩国际版啊，我玩的是网易中国版，然后安慰可可说，你自己玩也是可以的。我想：到底谁是正版受害者？
可可最近在读的一本小说突然就找不到了，她怎么都想不起来在哪里。我花了许多时间引导她回忆，终于想起是周三的课外班落在隔壁班的教室里了。如果缺乏引导，她的记忆是绝对不可能打开的。周五家长会，我特地提前了 5 分钟到学校，和隔壁班主任解释了一番，在教室仔细搜寻，果然找到了。可可很开心。
可可最近读书挺认真的，问了好多问题。前几天问了好几个成语的意思，又比问了什么时候用——（破折号），还讨论了为什么小说里要写那么多她觉得并不精彩的情节。
可可二年级，我最近发现她数学是真的不行 :( 今天检查作业错了一道题，引导了半天才发现她对 100 以上的数字概念都没建立起来。比如知道 10 个 100 是 1000 ，但她觉得 20 个 100 是一万，而且讲了一个小时才纠正过来。果然，人类天生的感知就是对数的么？本福特定理诚不我欺。
我觉得文字阅读能力对人的一生非常重要，而现在的小孩娃很难自发练习了 :( 试过很多方法培养兴趣，还是很难。最近一个月试着强制每天半小时文字阅读。两个娃都还听话，虽然觉得是个负担，但也认了这个任务。但经过一段事件，感觉阅读能力真的有提高(从阅读速度判断）。
可可看了几部关于老鼠的小说后，已经开始跟同学说地球上最聪明的动物是老鼠，地球就是老鼠造的计算机了。
可可迷上和我一起玩 rimworld 。假期跟妈妈出去旅行，回到家第一件事就是让我打开电脑继续抓一只豚鼠当宠物。知道游戏可以通过存档回退时间后，她让我试了一下在婚礼上把除新娘之外的人全部杀掉。等她长大，我一定推荐她看一遍杀死比尔。
可可说看到短视频中说 switch 的卡带是苦的。我说你要不要试试，她挑了一张舔了一下说好苦啊。云豆说我也试试。过了一会，可可又换了一张再舔了一下，这下她相信每张 switch 卡带都非常苦了。
可可说，我们玩个游戏，我问你问题，你必须马上回答。我说好。可可问：你最喜欢哥哥还是我？看我没说话，她说，算了，这个问题不好，下一个问题……
应朋友邀请去扬州玩。在扬泰机场跟可可讲李白的诗，我说古时候送别朋友远行，可能就一辈子不会再见了。可可问，不能打电话吗？
云豆说，什么时候买 switch 2 啊。我说你又不喜欢马车，买它作甚。但还是下了单。第一天试了 switch 秘密展和马车，玩得很开心。周末他的一帮同学闻讯都来了我们家。但是摸了一下 switch 2 以后，又围在 pc 上玩《小飞船大冒险》去了。
云豆家长会上，班主任展示了一张同学自制的贺卡。粉色的封面上画着一颗爱心，写着“我喜欢你”。打开后，内面用透明胶贴满了一整面秘密麻麻的蚊子。看来广州的夏天蚊虫真多，难为孩子能攒这么多。
云豆很兴奋的告诉我，他在科学课上学到埃菲尔铁塔是古斯塔夫造的。他前段玩了 33 号远征队，古斯塔夫是他最喜欢的角色。我告诉他我对埃菲尔铁塔那一带的路很熟，因为我玩了鬼武者。
给云豆买了本《猫和少年魔笛手》，我自己先读了一遍，非常喜欢。不过我怀疑他可能不太看得懂。云豆最近主动看书了，《哈利波特》已经快把《凤凰社》读完了。前几年我给他读过前四本，这次是他自己主动从第一本开始读的。
云豆问我，100 以内哪个数的因数最多，它有多少个因数？我想到一个问题：取一个足够大的整 n ，比 n 小的整数中因数最多的数大约有多少个因数？云豆说他找到 100 以内因数最多的是 96 ，有 12 个因数。我说 72 也是 12 个，我问，你能不能证明没有更多的了？1000 以内最多因数的是 900 ，有 27 个（其实 840 的有 32 个因数更多）。我给他讲了应该怎么找到这个数，以及应该怎样快速计算因数的个数。他发现分解质因数有实际的用途，还是挺开心的。
云豆学校最近查视力，一边 5.0 一边 4.4 ；去年都是 5.0 。前同事介绍了个医生，我们就去看眼科了。配了 OK 镜，前两天佩戴颇费事，第三天开始就很顺手了。
买了一本《在数学的雨伞下》。我先读完觉得内容不错，然后在睡前给云豆读了三次共三个小时左右。出乎意料，接受度还不错。不过每次不能太长时间，小孩得慢慢来，时间长一点他就犯困。
云豆看了 switch 2 预告的直面会后非常开心，因为樱井政博又回来做卡比了。
和云豆把双影奇景通关了，然后在隐藏关死了几百次才打到第三小关。云豆强迫症犯了，一定要我陪他练习直到把隐藏关通关。
云豆同学来家里玩，我说你们打游戏水平都不错，不如一起玩双影奇境。玩了两关后，同学说没意思，我们还是玩蛋仔派对吧。
晚上给云豆讲了一晚上勾股定理，用的总统证法。娃还没开窍，累死他也累死我了。最后他终于自己想通了等量加等量还是等量；我一开始以为是公理所以没办法教，这个必须自己想明白。“三角形的内角和是 180 度” 这个可以有疑惑的定理却很快接受了，只因为老师在课堂上讲过。去年花了 8 个周末给云豆讲质数，质因数，公约数等等。虽然花了比我预想得多的时间，但我确定他最后是懂了。今年课堂上开始教了，他说很轻松。我看课堂速度比我去年教的快多了，如果靠老师教，估计要学个一知半解。
云豆拿了语文测验卷子回来，错了好多。我给他讲卷子发现他阅读能力真的是很差。三国演义的半白话自然是完全不懂的；而一篇白话的百草园，也是一半没看懂。很多书面语的词完全不明白意思。
云豆的好朋友过生日，我帮他选了个礼物 RG28XX 。
云豆一大早起来背 100 以内的质数表，课本上还有口诀，说是今天数学老师要抽查。我说不需要这么背的。你心里顺着数数，把个位是 1379 的挑出来，去掉乘法口诀里出现的数字比如 49 ，再检查一下是不是 3 的倍数。最后记住 9 字头的只有 97 就好了。他试了一次就开心的上学去了。
2025-06-09 14:02:45
今天在网上和人闲扯，说到电梯的交互设计或许是有问题的。一般在楼宇的电梯区，会设置上下两个按钮，让乘客表达自己是要上行还是下行。如果在电梯区显示电梯当前所在楼层的话，就会有人理解为：上是指让电梯轿厢向上运行，下是指让其向下。一旦这样理解，就会输入错误的指令。
几乎每个有过在高层办公室上班经历的程序员都参与过电梯调度算法的讨论。看来，在饭点挤电梯是程序员们的共同记忆。（另一个永恒话题是怎样提高厕所的使用效率）我也不例外，20 多年里，我曾经反反复复和人讨论过这个问题。现在再也不用挤电梯了，似乎可以把过去考虑过的方案记录一下。
先说说现实存在过的方案：
大多数方案都是为了提高电梯的运营效率。要么为了节能，要么为了更快的满足乘客需求，要么为了提高高峰时的吞吐量。
大部分高层建筑都把多部电梯按楼层分区。有些电梯只服务低层，有些服务高层。如果楼层更多时可能还会分出更多区间。对于超高层建筑，也有把顶楼超高区单独分割出来，需要转电梯的。
这个设计显然是因为对于高层建筑，电梯的需求按楼层分布是金字塔型的。乘客永远都需要从地面进入，越往上，乘客越少，而路程越长。乘客的目的地却是接近均匀分布的，如果让乘客随机进入任意轿厢，最终电梯会在更多楼层停留开门，将乘客预先分组就显得很有必要。
另外，为了解决繁忙时段的吞吐量问题，电梯也可能按单双层分组。这样可以把一部分运力转嫁到楼梯上，减少每部电梯的停留时间。类似的方案还有针对乘客类型设置专用电梯，比如让饭点运输食物的乘客走专用梯，而减少乘客使用电梯的需求量；让领导们使用专门电梯，提高他们的幸福指数以获得重要工作上的效能增益，等等。
也有一些办公楼会让乘客预先输入自己的目的地，而不是简单的选择上行还是下行。这样，系统理论上可以统筹安排。我也使用过这样的系统，效果嘛，一言难尽。只能说理想很丰满，现实很骨感。电梯公司想乘着软件系统升级多赚点钱无可厚非，但复杂系统就是这样：很难把它实现得正确。
回到文章开头的话题，我的观点是，与其做一个交互更复杂的系统妄想提高效率，还不如进一步简化它。
其实，电梯的外部控制按钮或许并不需要上下两个？只要一个召唤按钮就够了。
首先，这样的交互设计是没有歧义的:我需要使用电梯，就召唤它过来。
其次，用上下行来对乘客预分类过于粗糙，实际中对效率的提升非常有限。
如果建筑只有一部电梯，看起来对乘客分类的意义最少：反正乘客都必须乘坐这唯一一部电梯去目的地的，即使电梯目前运行方向相反，提前进轿厢的区别也仅仅是在里面等待还是在外面等待。
有同学说，不对啊，假设电梯目前从 1 楼向上运行到 10 楼顶楼，5 楼的人想下去，按了召唤按钮，电梯就可能在上行过程中做无谓的停留。如果电梯按钮分开上下，需求就明确了，电梯只会上去后下行时才会停下来。
我的观点是，其实电梯在上行时停下来，乘客就可以进去了。这样电梯之后下来时就不用再次在 5 楼停下来。无论是电梯运行时间，还是乘客抵达 1 楼的时间，差别都微乎其微。
而且就我的实际经历：在饭点想乘电梯下楼的话，往往是只要电梯开门了就进去，哪管它上行还是下行。你不进去等下就进不去了。稍低楼层的人更多的是反向坐电梯，不然就可能要等到餐厅快打烊了才吃得上饭：因为你不反向乘电梯的话，电梯下行的第一站永远是最高层，比你楼层高的乘客会优先使用。电梯的设计运力难以满足高峰期的需求。
在这种使用场景下，略低楼层的乘客往往上下两个按钮都会按下，在电梯上行时就先进入轿厢，而当电梯折返下行路过同一楼层时，电梯再次开门，外面却已经没有乘客了。效率反而降低了。如果电梯只设一个召唤按钮，这个问题就可以回避掉。
ps. 真要在高峰期保证公平的话，电梯需要设置成：单趟只停一个楼层，然后循环这个目的地。例如，一部高层电梯可以依次循环停 30, 29, 28, .... ，每一趟只在目的地停一次。这个运行模式可以在电梯不满载时自动取消，或是按高峰时间段固定开启。可惜我工作过的办公楼还没有见过电梯系统能设置成这种公平模式的。
这种单按钮召唤的设计，只要算法合理也并不比上下两按钮的低效。上下两按钮只是预先把乘客分开上行组和下行组，避免只有一组乘客时电梯反向停留（例如在上行阶段为下行乘客开门）。单按钮系统可以在载荷超过阈值时拒绝响应外部召唤请求，在完全已进入轿厢的乘客都送达目的地后，再根据外部召唤情况跑下一趟。这样就可以做到：延迟处理外部请求队列，以延长乘客外部等待时间为代价，增加单趟满足的乘客数量，从而提高整体的运行效率。
那么，如果电梯系统有多部电梯时怎样处理呢？
我觉得也可以不用上下行按钮预分类乘客。而是将电梯本身分为上行开门和下行开门。和高低层分类一样，乘客应该自行去上行区和下行区召唤电梯。鉴于除了地面的乘客趋向于上行外，其实绝大多数楼中乘客使用电梯都是下行的。多部电梯的系统只要保留一部梯为上行开门就够了。而且，即使你需要下行，其实也可以进入这部梯，它或许并不慢。因为一旦反向抵达有乘客召唤的最上一层，之后它下到一楼是直达的（下行不开门）。
2025-05-14 12:05:48
我需要一个接口简单的寻路模块，所以今天写了一个 。其实之前也写过很多版本，在我上传代码时就发现我自己的 github 账号下早有同名仓库。不过，之前的版本的接口设计不太满意，直接删掉了，用这次的新版本复用老的仓库名字。
我希望达到的目标是，C 接口简单易用，且和地图本身的数据结构无关，只提供寻路功能。这样容易拓展到不同应用场景。
数据结构简单，内存开销固定，在算法执行过程中不额外分配内存。这可以方便的在多线程环境运行。
我不需要处理特别复杂和规模巨大的地图，那种场景应该额外做一些预处理。但在起点和终点的路线结果不长时（即使在大规模地图上），应该有较好的性能。
原始的 A star 算法实现最为简单，在大多数情况下有不错的表现，所以我选择了它。我知道算法可以有很多改进方法，但我觉得代码简单最为重要。
通常 A star 算法依赖一个优先队列，但我没有选择使用诸如平衡二叉树等复杂结构来实现它，而使用了最简单的单向链表。因为这样可以轻松的把全部数据全部塞在一块平坦内存中。
基础数据结构是一个用数组实现的闭散列 hash 表，使用者来决定使用多大的数组，通常使用预期路径长度的平方大小会比较合适。为了减少每次寻路的初始化成本，使用了一个 version 值表示每个 slot 的初始状态，每次调用寻路，都会把 version 递增（ O(1) 操作），这样就可以让整个 hash 表的所有 slot 复位。
寻路过程中每个尝试的节点都会加入 hash 表中，在 hash 表使用率超过一半就会中止算法，防止性能恶化。但接口在这种情况下依然会返回已经找到的离目标最近的中途点。
在不复杂的大规模地图上，通常可以通过多次调用找到完整路径。但依然建议针对大地图做更高层次的预处理。在 Youtube 上有一个 Rimworld 作者讲解 Rimworld 中区域分割系统的视频值得一看，搜索 "RimWorld Technology - Region System" 可以找到。
A star 工作中的待展开节点集是用单向链表的形式串起了 hash 表中的 slot ，而没有使用额外的优先队列结构。虽然单向链表的插入操作是 O(n) 的，但我猜想在大部分场景中，这个 n 并不算大。尤其是估价函数理想工作状态下（朝着目标直线移动），新插入的节点都是在链表一端附近的。这个猜想需要足够多的测试数据验证。
为了调试算法工作中的内部状态，模块提供了一个函数可以输出整个 hash 表的当前状态图（仅限于每个 slot 的 gscore ，即离起点的路程）。合理使用这张图，可以把算法的内部状态可视化表现。test 中使用 ascii 字符展示，但用灰度图输出图像效果会更好。
代码刚写好，尚未充分测试。但我觉得接口设计还算通用，应该会有人愿意使用。期待有更多人使用而让代码的质量提升。
2025-05-08 14:48:19
纯单人游戏在桌面游戏中不太多见，但我很喜欢这种。毕竟，找人一起玩桌游太不容易，虽然多人协作桌游总可以一个人操控多方进行 solo ，但终究不是为单人游戏设计的。今天介绍的两款单人卡牌游戏，我没买到实体版，都只是在桌游模拟器上玩过几盘。
第一款是 Legacy of Yu (2023) 大禹治水。老实说，这不是一款卡牌“构筑”游戏。虽然在游戏过程中玩家还是需要从市场列“购买”新卡片，但游戏过程并不是围绕构筑进行的。这些卡牌更像是消耗品。
游戏中的工人卡有三种用法：
打出后获得卡片上标注的资源，然后进入弃牌堆。
销毁一张工人卡，获得卡片上额外标注的一次性资源，卡片将移出游戏。这样获得的资源一定比前一种方法获得的多。
把卡牌（常驻）押在版图中已经盖好的房子上，此后的回合每回合获得持续资源奖励。
和一般的卡牌构筑游戏不同，卡堆不是越少越好。一般的卡牌构筑游戏，精简卡堆总是好的，因为这样可以加快卡堆循环，能更快抽到自己需要的强力卡。而这个游戏中，当抽牌堆耗尽，游戏进程就会向前推进。一旦准备不足，推进游戏会加快失败进程。虽然，游戏过程中，除非迫不得已，都不要销毁工人卡获得额外资源。
游戏中有砖头、木头、粮食、货币（贝壳）四种资源，以及白色劳工、红色战士、黄色弓箭手、黑色骑士、蓝色枪兵五种工人。
资源可以用来做建设：砖头+木头+劳工=农场（三个待建），砖头+3x木头+劳工=前哨（四个待建），3x砖头+木头+劳工=房屋（四个待建），运河。
农场效果是固定的，为后面的轮次每回合增加固定产能。三个农场分别对应粮食、劳工、其它任意工人；前哨可以让四种特殊工人和白色劳工相互替代；房屋的触发效果是随机的，标注在房屋卡片背面，大多数是触发说明书上的事件。建成房屋还可以为工人提供工作地（将工人换成对应资源）以及常驻资源产地（减少卡组中的工人卡换取持续产能）。
游戏需要玩家以不断增加的成本修建六段运河。成本会逐步递增，一二段需要两个劳工及两个贝壳；三四段需要三个劳工及两个贝壳；五六段需要两个劳工两个指定颜色工人及三个贝壳。每段运河修建成功后，可获得一次性奖励并摧毁部分抽牌堆中的工人卡，以及触发事件。并可以为之后的游戏回合带来一些贸易选项：
贸易选项是固定的：
两个贝壳换一个粮食
一张弃牌换两个贝壳
劳工及粮食转换为任意工人
四个贝壳换一个劳工
两个粮食及两个贝壳增加一张工人卡
砖头或木头换一个贝壳
玩家需要在修完六段运河后存活到回合结束才能赢得游戏。
在游戏版图上方由预备工人卡和蛮族卡共享市场列。蛮族卡越多，可选择的工人卡就越少。一旦市场列全部挤满蛮族卡，游戏就会失败。
市场列的最左端位置上的工人卡总是免费的。玩家可以选择拿取放在弃牌堆，也可以直接销毁获得一次性资源。而蛮族卡会随着修建运河的进程逐步进入市场列。未消灭的蛮族，在每个回合结束会收取贡品，通常贡品可以用销毁一张工人卡抵消，但如果工人卡被销毁光也会导致游戏失败。击败蛮族需要支付卡片上标注的指定种类的工人，击败蛮族后会获得卡片上标注的一次性奖励。
这个游戏有传承机制，熟悉基础规则后，可以根据说明书逐步解锁新的玩法：游戏难度会随着游戏进程慢慢加强，并引入一些新的游戏机制。因为根据单局游戏失败或成功，导向不同的游戏进程，难度也是动态调节的。
这个游戏不是很热门，可能是因为它只能单人游玩，在国内很难买到实体版。但这个游戏我非常喜欢，桌游模拟器上有汉化过的电子版。
Kingdom Legacy: Feudal Kingdom (2024) 是一个较新的游戏。它和很多传承类游戏一样，几乎只能玩一次。因为游戏过程中会涂改卡牌，这个过程是不可逆的。而且卡堆一开始在包装内的次序是设计过的，一旦打乱还原比较麻烦。后期的一些卡片一旦被巨头，也会失去一些探索未知的乐趣。
可能是因为每开一局都需要新买一盒游戏的远古，这个游戏各处都缺货，不太好买到。好在其官网有所有卡片的电子版本，可以方便做研究。
游戏规则简单有趣，整个游戏过程是升级卡牌。大部分卡片有四个状态：两面每面上下两端。卡牌升级指支付一些资源，让卡片旋转到另一端或翻面（根据卡片上的指示），同时结束当前回合；卡片上也可能有一些标注的效果让卡片状态变化。资源不使用额外指示物，而是弃掉当前的卡片获得（同样标注在卡面），资源必须立刻使用，无法保留到下一回合。
这个游戏的“构筑”过程颇有新意。它没有主动挑选购买新卡的环节，但一旦抽牌堆为空，就会结束一大轮，会从卡堆中新补充两张新卡（以设计过的次序，没有随机元素）。而玩家的主动构筑在于对已有卡片的变化（升级）。
每一个回合，抽四张手牌，用其中三张的资源换取一张卡的升级。在玩的过程中，如果当前回合资源不足以升级卡片，可以选择增加两张新卡继续当前回合；也可以选择 pass ，放弃当前所有手牌，重新补四张。游戏不会失败，不管怎么玩，游戏都在抽到第 70 号卡后结束，并结算得分。玩家可以以得分多少评价自己玩的成绩。游戏包装内不只 70 张卡片，超过编号 70 的卡片会在游戏进程中根据卡片上描述的事件选择性加入游戏。
游戏中有六种资源：金币、木材、石头、金属、剑、货物。它们对应了不同卡片的升级需求。通过卡牌升级，把牌组改造为更有效的得分引擎是这个游戏的核心玩点。部分卡片是永久卡，可以在游戏过程中生效永久驻留在桌面提供对应功能。有些卡片会被永久销毁，如前所述，一盒游戏只能玩一次，所以一旦一张卡片被销毁就再也用不到了。按游戏规则的官方说法，你可以把已销毁的卡片擦屁股或是点火。
为了方便初次游戏熟悉规则，在翻开第 23 号卡片之前，可以反复重玩，玩家可以不断的刷开局；直到 23 号卡片之后，游戏才变得不可逆。而在游戏后期，玩家牌堆会越来越大（因为每个大轮次，即抽完牌堆后后会加入两张新卡），这时就引入了支线任务 ，在游戏术语中叫做扩展（expansions）。触发支线时，需要清洗（销毁）一张桌面的永久卡，并执行一次 purge 12 动作。即洗掉牌堆，抽出 12 张卡，选一张保留，并销毁另外 11 张卡。但 purge 的这 11 张卡上的分数可以保留下来，记录在支线得分中。支线会让牌堆维持在一个较小的规模。
每个支线都会持续 4 轮（对应卡片的四个状态），每轮旋转或反转支线卡推进任务。支线的每个状态都会有一个当轮生效的效果。游戏的基础包中有三个内置支线卡，额外的扩展包增加了许多任务（以及额外的卡片）。一局游戏可以最多触发 10 个支线。
2025-04-10 22:52:40
最近读了一本书：《数学的雨伞下》。阅读体验非常好，这本书用浅显的语言，科普了许多深刻的道理。这本书所介绍的知识结构比较类似我挺喜欢的另一本《从一到无穷大》，但讲解更为细致一些，以至于如果事先明白这些知识，甚至会觉得有些冗长。但细细品味，会觉得理解能更深一层。
我在通读完一遍之后，这几天带着儿子精读。重读第一章中“对数之桥”一节时，我思考了一个问题：当年纳皮尔 Napier 到底出于什么动机制作一张高精度对数表，他制表的计算思路是怎样的。书中并没有答案，所以我又在互联网上翻看了当年 Napier 原著 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio 的介绍，感觉收获颇丰。
制作对数表的直接原因当然是为了简化大数乘除法的计算。对数概念的提出在幂概念建立之前，而现在的数学教学中，一般却是从幂自然推导到对数的。似乎后者才是自然而然的。这应该是因为，古人研究数学，最初是为了解决现实中的问题。所以，乘法必须有对应的几何意义。比如，计算正方形面积需要把计算边长的平方；立方体的体积需要计算边长的立方。更高次的幂却难有对应的几何意义，有理数幂则更为抽象。
现实中，也很难碰到极大的数字，超乎寻常的精度需求也很小，除了天文学。
人无法以上帝视角在宇宙空间中做测量，只能以地球为基点。所以，天文尺度的计算都依赖三角学。把天文（以及地理这种地球尺度的）数字问题化为三角函数，然后再加以计算。比如，测量地球到太阳的距离、地球到月球的距离、地球的直径都是这样。因为这些尺度都非常大，如果计算精度不够，就容易失之毫厘，差之千里。
为了测算太阳系内天体的距离，可以在地球表面找两个尽可能远的点（最多相距地球的直径），观察天体，记录下天体在视野中的角度。这样，地球表面的两个端点和被观察的天体，就构成了一个三角形。三角形的底边就是两地的距离，而顶角则可以对比两地观测的结果得到。这就是三角视差法。可想而知，对于太阳系内的天体，这个视察角度非常小，需要极高的观测精度和计算精度才能计算出距离（远大于地球直径）。
甚至，这个方法可以运用到测量附近恒星到地球的距离。这几乎是人类利用三角法能测算的最大尺度。在地球表面找两个点已经不够了，因为那最长不超过地球的直径。更长的标尺只有地球绕太阳的轨道：在一年中隔半年做一次观察，这两个观测点在宇宙空间中就隔了地球和太阳距离的两倍长，这总该够长了吧？其实不然。在这个尺度上，古人依然观察不到星星的位置相隔半年的星图中有所不同。这也是为什么日心说提出后，不光是神学家不接受，连天文学家（比如第谷）也不接受。
如果地球围着太阳转，而地球距离太阳如此之远，那么就算是恒星离得再远，地球位于太阳两侧时，总能观测到某些明亮（离我们相对较近）的星星位置有些许偏差吧？人类难以相像太阳系外的宇宙如此空旷。事实是，太阳以外的恒星离我们真的太远了，即使以地日这种天文距离为底边，和附近的恒星形成的等腰三角形的顶角也不到一秒。过去的测量工具的精度是完全不够用的。直到 19 世纪中叶（哥白尼死后 200 多年）人类才真正观测到天鹅座61/贝塞尔星 有 0.3 个秒视差，从而估算出离地球大约 10 光年左右。
测量精度是一方面，计算精度也很重要。在三角公式里算几个乘法，若是通过对数方法转换为加减法计算，而精度不够的话，恐怕结果会差上一个数量级。
纳皮尔在没有幂概念的基础上就发展出了对数概念，靠的还是寻求其几何意义。他的灵感来源并不是幂运算，而是三角公式。三角和差公式中，角度相加被转换为三角函数的乘法运算，这提示着，乘法和加法之间可以相互转换。纳皮尔的对数表也并不是现在意义的列一系列数字，逐个列出它们的对数。而是给出角度的三角函数值的对数。它可以看成是当时已存在的三角函数表的拓展。这也是为什么，纳皮尔的表只有 90 * 60 = 5400 项（对应四分之一圆周在分精度下的所有角度值），但数字精度却有小数点后 7 位。因为当时最精确的三角函数表是 7 位精度。
在没有计算机的年代，计算对数必须查对数表。那么最初的对数表怎么得到的呢？如果是按幂函数的逆去计算，那就涉及高次开方，人肉计算显然是不可能的。而且当时，还并没有发现对数和幂的互逆关系（那要等到 100 年后的欧拉），甚至连幂的概念都没有。
《数学的雨伞下》这本书为了让读者更容易理解对数表，举例子使用的是以 2 为底的对数。对数列是一个自然（等差）数列：1,2,3,4,5... ；真数列是 2, 4, 8, 16, 32 .... 这样一个等比数列。但实际这样制作对数表会难以实用，因为真数数列膨胀的太快了。如果要实用，最好真数数列的间隔不要太大。如果间隔太大，在利用它做乘法运算的时候，很多数字会偏差很大。
把对数用于快速计算乘法，选用怎样的底并不重要。当等差数列的差距为 0.00000001 时（因为当时的三角函数表有 7 位精度），等比数列的差值选为 1.0000001 或 0.9999999 最方便计算。因为这样，列出等比数列时，就不需要连续计算乘法，而只需要移位相加即可。一个十进制数乘以 1.0000001 只需要把这个移动 7 位的小数点，再加上原数即可。如果等比数列的公比为 1.0000001 ，其实是给对数表选择了一个以 (1+1/n)^n (n = 10^7) 的底。当然，这是现代数学的看法，在纳皮尔的时代，还没有发展出底这个概念。
纳皮尔研究的是三角对数，真数范围在 0 到 1 之间。当时的人并没有完整的小数和数级的概念。过去研究圆，使用的是一个超大的(10^7）的半径而不是今天流行的 1 。因为这样，三角函数才能近似为整数（对于 7 位精度，使用10^7 的圆半径，相当于比今天的三角函数放大了一千万倍）。btw, 纳皮尔在制作对数表的过程中，发明了小数点，用来保留计算过程中的精度。
他先构造了一个等比数列，再通过几何定义去计算其对数对应的等差数列。从现代观念看，纳皮尔选择的底约为 0.9999999^1000000 ，非常接近 1/e 。
在今天来看，如果我们想制作一张好用的对数表，真数列自然是越密越好。如果我们把 n 取无穷大，让 1/n 足够小，(1+1/n)^n 的极限即为欧拉数 e 。我想，这也是为什么欧拉数 e 被称为自然对数的底。纳皮尔的时代，无法通过“视对数函数为幂函数的逆函数”来建立这种直观的认识，人类深刻认识 e，要到百年后的欧拉。
关于纳皮尔如何制作对数表的，他自己写过构造方法一书。300 年后的 1914 年 EW Hobson 写了 John Napier and the invention of logarithms, 1614 纪念纳皮尔，详细讨论了纳皮尔原著中的方法。这篇文章在网上可以找到中文翻译。另可以参考这一篇文章 。
纳皮尔在计算过程中，充分考虑了计算的误差区间，严格保证他计算的对数表满足 7 位精度。他首先计算了 0.9999999 的 0 到 100 次方，然后计算 0.99999999^100 = 0.99999 的 0 到 50 次方。虽然计算这个等比数列只需要把前一个数字在十进制上移位并计算减法，这个计算工作并不难（并不需要算乘法），但纳皮尔在这一步把最后一项算错了：本应该是 0.999500122480 ，而他计算成了 0.9995001222927 。这个 bug 导致了使用最终的对数表会产生微小的误差（影响最后一位数字），纳皮尔自己觉得这个误差是三角函数表不精确导致的，并建议用 8 位精度重制三角函数表。
